对任意的实数 $x$，函数 $f\left( x \right)$ 有性质 $f\left( x \right)+f\left( x-1 \right)={{x}^{2}}$．如果 $f\left( 19 \right)=94$，那么，$f\left( 94 \right)$ 除1000的余数是多少？
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
561
【解析】
重复利用 $f\left( x \right)={{x}^{2}}-f\left( x-1 \right)$，有
$f\left( 94\right)={{94}^{2}}-f\left( 93 \right)$
$={{94}^{2}}-{{93}^{2}}+f\left( 92 \right)$
$={{94}^{2}}-{{93}^{2}}+{{92}^{2}}-f\left( 91\right)$
$=$ ……
$={{94}^{2}}-{{93}^{2}}+{{92}^{2}}-\cdots+{{20}^{2}}-f\left( 19 \right)$
$=\left( 94+93 \right)\left( 94-93\right)+\left( 92+91 \right)\left( 92-91 \right)+\cdots +\left( 22+21\right)\left( 22-21 \right)+{{20}^{2}}-94$
$=\left( 94+93+92+\cdots +21 \right)+306$
$=\frac{94+21}{2}\times 74+306$
$=4561$．
因此，$f\left( 94\right)$ 除以1000的余数是561．
$f\left( 94\right)={{94}^{2}}-f\left( 93 \right)$
$={{94}^{2}}-{{93}^{2}}+f\left( 92 \right)$
$={{94}^{2}}-{{93}^{2}}+{{92}^{2}}-f\left( 91\right)$
$=$ ……
$={{94}^{2}}-{{93}^{2}}+{{92}^{2}}-\cdots+{{20}^{2}}-f\left( 19 \right)$
$=\left( 94+93 \right)\left( 94-93\right)+\left( 92+91 \right)\left( 92-91 \right)+\cdots +\left( 22+21\right)\left( 22-21 \right)+{{20}^{2}}-94$
$=\left( 94+93+92+\cdots +21 \right)+306$
$=\frac{94+21}{2}\times 74+306$
$=4561$．
因此，$f\left( 94\right)$ 除以1000的余数是561．
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解析
备注
