对实数 $x$，$\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数部分，求使 $\left[ {{\log }_{2}}1 \right]+\left[ {{\log }_{2}}2 \right]+\left[ {{\log }_{2}}3 \right]+\cdots +\left[ {{\log }_{2}}n \right]=1994$ 成立的正整数 $n$．
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
312
【解析】
令 ${{S}_{n}}=\left[ {{\log }_{2}}1 \right]+\left[ {{\log }_{2}}2\right]+\left[ {{\log }_{2}}3 \right]+\cdots +\left[ {{\log }_{2}}n \right]$，注意到，对非负整数 $k$，有 ${{2}^{k}}$ 个正整数 $x$，使 $\left[{{\log }_{2}}x \right]=k$，则 $x={{2}^{k}}$，${{2}^{k}}+1$，… ${{2}^{k+1}}-1$．所以，对正整数 $r$，有
${{S}_{{{2}^{r-1}}}}=0+\left(1+1 \right)+\left( 2+2+2+2 \right)+\cdots +\underbrace{\left[ \left( r-1\right)+\left( r-1 \right)+\cdots +\left( r-1 \right) \right]}_{{{2}^{r-1}}}$．
这个表达式的右边有
${{2}^{r}}-{{2}^{1}}$ 项 $\geqslant 1$，
${{2}^{r}}-{{2}^{2}}$ 项 $\geqslant 2$，
……
${{2}^{r}}-{{2}^{r-2}}$ 项 $\geqslant r-2$，
${{2}^{r}}-{{2}^{r-1}}$ 项 $=r-1$．
这表明
${{S}_{{{2}^{r-1}}}}=\left( {{2}^{r}}-{{2}^{1}} \right)+\left({{2}^{r}}-{{2}^{2}} \right)+\cdots +\left( {{2}^{r}}-{{2}^{r-1}} \right)$
$=\left( r-2 \right){{2}^{r}}-\left({{2}^{r}}-2 \right)$
$=\left( r-2 \right){{2}^{r}}+2$．
令 $r=8$，得 ${{S}_{255}}=1538<1994$，
令 $r=9$，得 ${{S}_{511}}=3586>1994$．
因此，如果 ${{S}_{n}}=1994$，那么，$255={{2}^{8}}-1<n<{{2}^{9}}-1$，
所以，$1994={{S}_{n}}={{S}_{255}}+\left(n-255 \right)8=8n-502$．它的解为 $n=312$．
${{S}_{{{2}^{r-1}}}}=0+\left(1+1 \right)+\left( 2+2+2+2 \right)+\cdots +\underbrace{\left[ \left( r-1\right)+\left( r-1 \right)+\cdots +\left( r-1 \right) \right]}_{{{2}^{r-1}}}$．
这个表达式的右边有
${{2}^{r}}-{{2}^{1}}$ 项 $\geqslant 1$，
${{2}^{r}}-{{2}^{2}}$ 项 $\geqslant 2$，
……
${{2}^{r}}-{{2}^{r-2}}$ 项 $\geqslant r-2$，
${{2}^{r}}-{{2}^{r-1}}$ 项 $=r-1$．
这表明
${{S}_{{{2}^{r-1}}}}=\left( {{2}^{r}}-{{2}^{1}} \right)+\left({{2}^{r}}-{{2}^{2}} \right)+\cdots +\left( {{2}^{r}}-{{2}^{r-1}} \right)$
$=\left( r-2 \right){{2}^{r}}-\left({{2}^{r}}-2 \right)$
$=\left( r-2 \right){{2}^{r}}+2$．
令 $r=8$，得 ${{S}_{255}}=1538<1994$，
令 $r=9$，得 ${{S}_{511}}=3586>1994$．
因此，如果 ${{S}_{n}}=1994$，那么，$255={{2}^{8}}-1<n<{{2}^{9}}-1$，
所以，$1994={{S}_{n}}={{S}_{255}}+\left(n-255 \right)8=8n-502$．它的解为 $n=312$．
答案
解析
备注
