在 $\operatorname{Rt}\vartriangle ABC$ 中，$\angle C$ 为直角，$CD$ 为 $AB$ 边上的高，$D$ 为垂足，$\vartriangle ABC$ 各边长都是整数，且 $BD={{29}^{3}}$，$\cos B=\frac{m}{n}$，$m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
450
【解析】
如图所示，由射影定理知 $BC=BD\cdot BA$，所以 ${{a}^{2}}={{29}^{3}}c$．由于29是素数，所以 ${{29}^{2}}|a$．令 $a={{29}^{2}}k\left( k\in \mathbf{N} \right)$，则 $c=29{{k}^{2}}$．于是由 $b=\sqrt{{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}=29k\times\sqrt{{{k}^{2}}-{{29}^{2}}}$ 是整数知，${{k}^{2}}-{{29}^{2}}={{t}^{2}}\left( t\in \mathbf{N} \right)$，故 $\left( k-t\right)\left( k+t \right)={{29}^{2}}$．
由于 $k+t>k-t>0$，由上式知 $k+t={{29}^{2}}$，$k-t=1$，
解之得 $k=421$，于是 $BC={{29}^{2}}\times421$，从而 $\cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{29}{421}$．
因此 $m+n=450$．
由于 $k+t>k-t>0$，由上式知 $k+t={{29}^{2}}$，$k-t=1$，
解之得 $k=421$，于是 $BC={{29}^{2}}\times421$，从而 $\cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{29}{421}$．
因此 $m+n=450$．
答案
解析
备注
