对给定的一个正整数 $n$．设 $p\left( n \right)$ 表示 $n$ 的各位上的非零的数字乘积（如果 $n$ 只有一位数字，那么 $p\left( n \right)$ 等于那个数字）．若 $S=p\left( 1 \right)+p\left( 2 \right)+p\left( 3 \right)+\cdots +p\left( 999 \right)$，则 $S$ 的最大素因子是多少？
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
103
【解析】
考虑每个小于1000的正整数（若数字位数小于3，则前面补0使它成为三位数，如25可写成025），所以这样的正整数各位数字乘积的和是
$\left( 0\times0\times 0+0\times 0\times 1+0\times 0\times 2+\cdots +9\times 9\times 8+9\times9\times 9 \right)-0\times 0\times 0$
$={{\left(0+1+2+\cdots +9 \right)}^{3}}-0$．（1）
然而，$p\left( n\right)$ 是 $n$ 的非零数字的乘积，这个乘积的和可以将上面表达式中的0用1代替而得到，因此在乘积式中忽略掉0和把它看作1等值（注意到式（1）中最后的0变成1可由000变成111后补偿）．因此
$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{999}{p\left(n \right)}={{\left( 1+1+2+\cdots +9 \right)}^{3}}-1$
$={{46}^{3}}-1={{3}^{3}}\times 5\times7\times 103$．
最大的素因子是103．
$\left( 0\times0\times 0+0\times 0\times 1+0\times 0\times 2+\cdots +9\times 9\times 8+9\times9\times 9 \right)-0\times 0\times 0$
$={{\left(0+1+2+\cdots +9 \right)}^{3}}-0$．（1）
然而，$p\left( n\right)$ 是 $n$ 的非零数字的乘积，这个乘积的和可以将上面表达式中的0用1代替而得到，因此在乘积式中忽略掉0和把它看作1等值（注意到式（1）中最后的0变成1可由000变成111后补偿）．因此
$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{999}{p\left(n \right)}={{\left( 1+1+2+\cdots +9 \right)}^{3}}-1$
$={{46}^{3}}-1={{3}^{3}}\times 5\times7\times 103$．
最大的素因子是103．
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解析
备注
