一块用栅栏围成的长方形的土地大小为 $24\text{m}\times 52\text{m}$，一位农业科技人员欲将这块土地内部分割为一些全等的正方形试验田．要求这块土地全部被划分而且分割成的正方形的边与土地的边界平行．试问 $1994\text{m}$ 的栅栏最多可将这块土地分为多少块正方形试验田？
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
702
【解析】
假设土地被分成若干边长为 $s$ 的正方形，那么有正整数 $m$，$n$，使 $\frac{24}{s}=m$ 和 $\frac{52}{s}=n$．因此，$\frac{m}{m}=\frac{6}{13}$．
所以有正整数 $k$，使 $m=6k$，$n=13k$．注意到当 $k$ 的值尽可能大时，试验田的数目达到最大值．将土地划分成若干 $s\times s$ 的正方形所用的栅栏总长度是
$\left( m-1\right)52+\left( n-1 \right)24$
$=k\left(6\cdot 52+13\cdot 24 \right)-\left( 52+24 \right)$
$=624k-76$．
最多可用1994米，则有 $624k-76\leqslant 1994$．
得 $k\leqslant\frac{1994+76}{624}=3.31$．
因为 $k$ 是整数，故 $k$ 的最大值为3，此时有正方形的总数为 $mn=\left( 6\times 3 \right)\left( 13\times 3 \right)=702$．
所以有正整数 $k$，使 $m=6k$，$n=13k$．注意到当 $k$ 的值尽可能大时，试验田的数目达到最大值．将土地划分成若干 $s\times s$ 的正方形所用的栅栏总长度是
$\left( m-1\right)52+\left( n-1 \right)24$
$=k\left(6\cdot 52+13\cdot 24 \right)-\left( 52+24 \right)$
$=624k-76$．
最多可用1994米，则有 $624k-76\leqslant 1994$．
得 $k\leqslant\frac{1994+76}{624}=3.31$．
因为 $k$ 是整数，故 $k$ 的最大值为3，此时有正方形的总数为 $mn=\left( 6\times 3 \right)\left( 13\times 3 \right)=702$．
答案
解析
备注
