对于定实数 $a$，$b$，$c$，$d$，方程 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ 有四个非实数根，其中两个根的积是 $13+\text{i}$，另两个根的和是 $3+4\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$，求 $b$．
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
51
【解析】
设4个非实根是 ${{r}_{1}}$，${{r}_{2}}$，${{r}_{3}}$，${{r}_{4}}$，其中 ${{r}_{1}}{{r}_{2}}=13+\text{i}$，${{r}_{3}}+{{r}_{4}}=3+4\text{i}$．因为实系数多项式 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ 的根是虚数，所以其根是成共轭对出现，不妨设 ${{r}_{3}}=\overline{{{r}_{1}}}$，${{r}_{4}}=\overline{{{r}_{2}}}$ 从而有
${{r}_{3}}{{r}_{4}}=\overline{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}=13-\text{i}$，${{r}_{1}}+{{r}_{2}}=\overline{{{r}_{3}}+{{r}_{4}}}=3-4\text{i}$．
因此，这个多项式是
$\left[ {{x}^{2}}-\left( 3-4\text{i} \right)x+\left( 13+\text{i}\right) \right]\left[ {{x}^{2}}-\left( 3+4\text{i} \right)x+\left( 13-\text{i}\right) \right]$
$={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+51{{x}^{2}}-70x+170$．
故 $b=51$．
${{r}_{3}}{{r}_{4}}=\overline{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}=13-\text{i}$，${{r}_{1}}+{{r}_{2}}=\overline{{{r}_{3}}+{{r}_{4}}}=3-4\text{i}$．
因此，这个多项式是
$\left[ {{x}^{2}}-\left( 3-4\text{i} \right)x+\left( 13+\text{i}\right) \right]\left[ {{x}^{2}}-\left( 3+4\text{i} \right)x+\left( 13-\text{i}\right) \right]$
$={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+51{{x}^{2}}-70x+170$．
故 $b=51$．
答案
解析
备注
