求使方程组 $\left\{ \begin{align}
& ax+by=1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=50 \\
\end{align} \right.$ 至少有一解，且所有的解都是整数解的实数对 $\left( a b \right)$ 的个数．
& ax+by=1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=50 \\
\end{align} \right.$ 至少有一解，且所有的解都是整数解的实数对 $\left( a b \right)$ 的个数．
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
72
【解析】
方程 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=50$ 的图形是以 $\left( 0, 0\right)$ 为圆心，以 $5\sqrt{2}$ 为半径的圆，$ax+by=1$ 的图形是一条直线．题中的命题等价于找和圆相交且每个交点都是整点的直线．
在圆上有 $12$ 个整点：$\left(1 ,7 \right)$，$\left( 1 ,-7 \right)$，$\left( -1, 7\right)$，$\left( -1 ,-7 \right)$，$\left( 5 ,5\right)$，$\left( 5 ,-5 \right)$，$\left( -5, 5\right)$，$\left( -5 ,-5 \right)$，$\left( 7, 1\right)$，$\left( 7, -1 \right)$，$\left( -7 ,1\right)$，$\left( -7 ,-1 \right)$．每一对这样的点决定了一条与圆相交于题设点的直线，共有 $\text{C}_{12}^{2}=66$ 个这种对．另外，这12个点中的每一个点都可以作与圆相交于那点的直线（切线），所以共有 $66+12=78$ 条直线与圆仅相交于整点．这样的直线可以写在 $ax+bx=1$ 的形式，当且仅当直线不包含原点．但这78条直线中有6条包含原点（两坐标正好相反的点决定的直线）．这表明有 $78-6=72$ 个有序实数对 $\left( a ,b \right)$ 使得给定的方程组至少有一个解且只有整数解．
在圆上有 $12$ 个整点：$\left(1 ,7 \right)$，$\left( 1 ,-7 \right)$，$\left( -1, 7\right)$，$\left( -1 ,-7 \right)$，$\left( 5 ,5\right)$，$\left( 5 ,-5 \right)$，$\left( -5, 5\right)$，$\left( -5 ,-5 \right)$，$\left( 7, 1\right)$，$\left( 7, -1 \right)$，$\left( -7 ,1\right)$，$\left( -7 ,-1 \right)$．每一对这样的点决定了一条与圆相交于题设点的直线，共有 $\text{C}_{12}^{2}=66$ 个这种对．另外，这12个点中的每一个点都可以作与圆相交于那点的直线（切线），所以共有 $66+12=78$ 条直线与圆仅相交于整点．这样的直线可以写在 $ax+bx=1$ 的形式，当且仅当直线不包含原点．但这78条直线中有6条包含原点（两坐标正好相反的点决定的直线）．这表明有 $78-6=72$ 个有序实数对 $\left( a ,b \right)$ 使得给定的方程组至少有一个解且只有整数解．
答案
解析
备注
