由能被3整除且比完全平方数小1的正整数组成的递增序列3，15，24，48，…，这个序列的第1994项除以1000的余数是多少？
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
63
【解析】
一个比完全平方数小1的数具有形式 ${{n}^{2}}-1=\left(n+1 \right)\left( n-1 \right)$，$n=2,3,\cdots$．
当且仅当 $n$ 不能被3整除时，${{n}^{2}}-1$ 是 $3$ 的倍数．所以这个序列的第 $2k-1$ 项和第 $2k$ 项分别是 ${{\left( 3k-1 \right)}^{2}}-1$ 和 ${{\left( 3k+1\right)}^{2}}-1$．因此，这个序列的第1994项为
${{\left(3\cdot 997+1 \right)}^{2}}-1={{\left( 3000-8\right)}^{2}}-1={{3000}^{2}}-16\times 3000+63$．
它除以1000的余数是63．
当且仅当 $n$ 不能被3整除时，${{n}^{2}}-1$ 是 $3$ 的倍数．所以这个序列的第 $2k-1$ 项和第 $2k$ 项分别是 ${{\left( 3k-1 \right)}^{2}}-1$ 和 ${{\left( 3k+1\right)}^{2}}-1$．因此，这个序列的第1994项为
${{\left(3\cdot 997+1 \right)}^{2}}-1={{\left( 3000-8\right)}^{2}}-1={{3000}^{2}}-16\times 3000+63$．
它除以1000的余数是63．
答案
解析
备注
