一种单人纸牌游戏，其规则如下：将6对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中抽一张牌放在手中，不过当他手中有成对的牌时，就将其放到一边，如果游戏者手中有三张两两互不成对的牌，游戏就结束，否则抽牌继续进行直到书包中没有纸牌为止．设书包空的概率为 $\frac{p}{q}$，这里 $p$，$q$ 为互素的正整数．求 $p+q$．
【难度】
【出处】
1994年第12届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
394
【解析】
设书包中有 $n$ 对互不相同的牌，其中 $n\geqslant 2$ 的整数．则前三张牌中有两个成对的概率为
$\frac{}{}\text{=}\frac{\text{C}_{n}^{1}\text{C}_{2n-2}^{1}}{\text{C}_{2n}^{3}}=\frac{3}{2n-1}$．
设 $P\left( n \right)$ 是开始时书包有 $n$ 对互不相同的牌，按本题的规则抽牌而使书包空的概率，则 $P\left( 2 \right)=1$，且对 $n\geqslant 3$．$P\left( n \right)=\frac{3}{2n-1}P\left( n-1 \right)$．
反复利用这个递归公式，有 $P\left(n \right)=\frac{3}{2n-1}\cdot \frac{3}{2n-3}\cdot \cdots \cdot\frac{3}{5}P\left( 2 \right)$．
当 $n=6$ 时，有 $P\left( 6\right)=\frac{{{3}^{4}}}{11\times 9\times 7\times 5}=\frac{9}{385}$．
所以，分子和分母的和是 $9+385=394$．
$\frac{}{}\text{=}\frac{\text{C}_{n}^{1}\text{C}_{2n-2}^{1}}{\text{C}_{2n}^{3}}=\frac{3}{2n-1}$．
设 $P\left( n \right)$ 是开始时书包有 $n$ 对互不相同的牌，按本题的规则抽牌而使书包空的概率，则 $P\left( 2 \right)=1$，且对 $n\geqslant 3$．$P\left( n \right)=\frac{3}{2n-1}P\left( n-1 \right)$．
反复利用这个递归公式，有 $P\left(n \right)=\frac{3}{2n-1}\cdot \frac{3}{2n-3}\cdot \cdots \cdot\frac{3}{5}P\left( 2 \right)$．
当 $n=6$ 时，有 $P\left( 6\right)=\frac{{{3}^{4}}}{11\times 9\times 7\times 5}=\frac{9}{385}$．
所以，分子和分母的和是 $9+385=394$．
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