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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21618 5a5d9e70513d0d0009f8849e 高中 解答题 自招竞赛 对于任意的 $a,b>0$，求证：$$\dfrac {1}{a+b}\leqslant \dfrac 14\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right);$$ 2022-04-17 20:37:10
21617 5a5d9f03513d0d0009f884a4 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x$、$y$、$z$ 是正数，且满足$$\begin{cases} x^2+y^2+xy=3,\\ y^2+z^2+yz=4,\\ z^2+x^2+zx=7.\end{cases}$$求 $x+y+z$． 2022-04-17 20:37:10
21616 59113e03e020e700094b092d 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2}2+ax+2\ln x$ 在 $x=2$ 处取得极值． 2022-04-17 20:36:10
21615 5a5da018513d0d0009f884aa 高中 解答题 自招竞赛 如图，边长为 $2$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$、$F$ 分别是边 $AB$、$AC$ 上的动点． 2022-04-17 20:36:10
21614 59546703d3b4f9000ad5e7d0 高中 解答题 高中习题 游戏规则如下：如果某次随机地投掷出手中的骰子后有 $2$ 颗骰子的点数之和为 $7$，则获胜．现在手中恰好有 $2$ 颗骰子，有两种奖励（bonus）可以领取：
奖励A，额外的 $2$ 次投掷机会；
奖励B，额外的 $1$ 颗骰子．		 2022-04-17 20:35:10
21613 5a5da6b3513d0d0009f884d4 高中 解答题 自招竞赛 已知正数 $x$、$y$、$z$ 满足 $x+y+z=1$．求证：对任意正整数 $n$，有$$x^n+y^n+z^n \geqslant \dfrac {1}{3^{n-1}}.$$ 2022-04-17 20:35:10
21612 5a5da887513d0d0009f884e1 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $ \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac 12$，椭圆短轴的上、下两个端点分别为 $A$、$B$．以 $A$ 为圆心，椭圆长半轴长为半径的圆与椭圆交于 $C$、$D$ 两点，$CD$ 的中点的纵坐标为 $6-3\sqrt 3$． 2022-04-17 20:34:10
21611 5a5da914513d0d0009f884e7 高中 解答题 自招竞赛 有 $9$ 个人参加乒乓球单打比赛，每两个人之间最多比赛 $1$ 场．已知比赛共举办了 $28$ 场．求证：必然有 $4$ 个人，他们之间都互相比赛过． 2022-04-17 20:33:10
21610 5908233c060a05000bf29143 高中 解答题 高中习题 若甲乙对局时，甲赢得单局比赛的概率为 $p$（$p>0.5$），求证：在 $2n+1$ 局 $n+1$ 胜（如 $5$ 局 $3$ 胜）制的比赛中，甲最终胜出的概率随着 $n$ 的增大而增大． 2022-04-17 20:33:10
21609 5a5db3094b78b4000754688b 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)={\rm e}^{x-1}\cdot \ln x$，$g(x)=\dfrac{x^n-1}{nx}$（$x>0$，$n\ne 0$）． 2022-04-17 20:32:10
21608 5a5db8344b78b400075468a5 高中 解答题 自招竞赛 过抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 作弦 $BC$，若弦 $BC$ 的垂直平分线交 $BC$ 于 $M$，交 $x$ 轴于 $N$．求证：$$|MN|^2=|FB|\cdot|FC|.$$ 2022-04-17 20:32:10
21607 5a5db8c84b78b4000827396f 高中 解答题 自招竞赛 已知：$a$、$b$、$c$ 均为正实数，求证：$$2\sqrt {bc+ca+ab}\leqslant \sqrt 3 \sqrt[3]{(b+c)(c+a)(a+b)}.$$ 2022-04-17 20:31:10
21606 5a5dbbab4b78b40008273975 高中 解答题 自招竞赛 已知各项全不为零的数列 $\{a_n\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_k$，且 $S_k=\dfrac 12a_ka_{k+1}$（$k \in \mathbb N_+$），其中 $a_1=1$． 2022-04-17 20:30:10
21605 5a5dd3b34b78b40008273980 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)={\rm e}^{x-1}\cdot \ln x$，$g(x)=\dfrac{x^n-1}{nx}$（$x>0$，$n\ne 0$）． 2022-04-17 20:30:10
21604 5a5da7d3513d0d0009f884db 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)={\rm e}^{x-1}\cdot \ln x$，$g(x)=\dfrac{x^n-1}{nx}$（$x>0$，$n\ne 0$）． 2022-04-17 20:29:10
21603 5a02e1d2e1d4630009e6d27c 高中 解答题 高中习题 已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=-\dfrac{\ln x}{x}+{\rm e}^{ax-1}$． 2022-04-17 20:29:10
21602 590aa7456cddca00092f6f65 高中 解答题 高中习题 正整数数列 $\{a_n\}$ 满足对任意正整数 $n$，均有 $a_{a_n}+a_n=2n$，求 $a_n$． 2022-04-17 20:29:10
21601 59b62304b049650007283019 高中 解答题 高中习题 已知 $a^2+b^2+c^2=2$，求证：$a+b+c\leqslant 2+abc$． 2022-04-17 20:28:10
21600 590bd7116cddca00092f7119 高中 解答题 高中习题 已知不等式 $a\leqslant \dfrac 34x^2-3x+4\leqslant b$ 的解集恰好是 $[a,b]$，求 $a,b$ 的值． 2022-04-17 20:27:10
21599 590986ea39f91d0007cc9388 高中 解答题 高中习题 已知圆 $O:x^2+y^2=4$，直线 $l:y=kx+5$． 2022-04-17 20:26:10
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