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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21638 5a5d493545934c000721c7ad 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac {x^2}{6}+\dfrac {y^2}{2}=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $y=k(x-2)$ 交椭圆于 $P$、$Q$ 两点（$k \neq 0$）．若 $PQ$ 的中点为 $N$，$O$ 为原点，直线 $ON$ 交直线 $x=3$ 于 $M$． 2022-04-17 20:47:10
21637 5a5d49db45934c000721c7b2 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 满足：$|a_{n+1}-2a_n|=2$，$|a_n|\leqslant 2$，$n=1,2,3,\cdots.$ 证明：如果 $a_1$ 为有理数，则从某项后 $\{a_n\}$ 为周期数列． 2022-04-17 20:47:10
21636 5a5d4aa645934c000721c7b7 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb Z_+$，证明：存在不全为零的数 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in \{0,1,2\}$，使得 $\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3$ 和 $\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\lambda_3b_3$ 同时被 $3$ 整除． 2022-04-17 20:46:10
21635 5a5d4b6445934c0008795960 高中 解答题 自招竞赛 设 $\delta=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 为 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的一个排列，记 $\displaystyle F(\delta)=\sum \limits_{i=1}^{n}a_ia_{i+1}$，$a_{n+1}=a_1$，求 $\min \limits_{\delta}F(\delta)$． 2022-04-17 20:46:10
21634 5a5d576745934c000879598a 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\sin A=\dfrac {4\sqrt 5}{9}$，且 $a$、$b$、$c$ 为角 $A$、$B$、$C$ 的对边． 2022-04-17 20:45:10
21633 5a5d58a245934c000721c7f2 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_{n+1}=-\dfrac {(S_n-1)^2}{S_n}$（$n \in \mathbb N_+$），其中 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和． 2022-04-17 20:45:10
21632 5a5d597345934c0008795991 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b \in \mathbb R_+$ 且 $a \neq b$． 2022-04-17 20:44:10
21631 5a5d5a7f45934c0008795996 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$AB$ 是椭圆 $mx^2+ny^2=1$（$m,n>0$，$m \neq n$）的斜率等于 $1$ 的弦，$AB$ 的垂直平分线与椭圆交于两点 $C$、$D$． 2022-04-17 20:44:10
21630 59c46f514722d3000899150a 高中 解答题 高中习题 一个多面体的三视图如图所示，其中俯视图中内部的小正方形边长为 $1$，求该多面体的体积． 2022-04-17 20:44:10
21629 5a5d72a0aface00008f80406 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 满足：① $a_1=1$，② $a_n>0$，③ $a_n=\dfrac {na_{n+1}^2}{na_{n+1}+1}$，（$n \in \mathbb N_+$）．求证： 2022-04-17 20:43:10
21628 5a5d7431aface00008f8041a 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $E:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），直线 $l:x+y-3a=0$．若椭圆 $E$ 的离心率为 $\dfrac {\sqrt 3}{2}$，原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $3\sqrt 2$． 2022-04-17 20:43:10
21627 5a5d7557aface00008f80426 高中 解答题 自招竞赛 求满足 $x^3-x=y^7-y^3$ 的所有质数 $x$ 和 $y$． 2022-04-17 20:42:10
21626 5a5d7519aface00008f80421 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\odot O$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，切点分别为 $P$、$Q$、$R$、$S$，$OA$ 与 $PS$ 交于点 $A_1$，$OB$ 与 $PQ$ 交于点 $B_1$，$OC$ 与 $QR$ 交于点 $C_1$，$OD$ 与 $SR$ 交于点 $D_1$．求证：四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 是平行四边形． 2022-04-17 20:41:10
21625 5a5d900faface00008f80450 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x,y \in \mathbb R$，且 $x^2+y^2=2$，$|x|\neq |y|$．求 $\dfrac {1}{(x+y)^2}+\dfrac {1}{(x-y)^2}$ 的最小值． 2022-04-17 20:40:10
21624 5a5d9193aface00008f80455 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C: \dfrac {x^2}{3}+y^2=1$ 的上顶点为 $A$．不经过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$、$Q$ 两点，且 $\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AQ}=0$． 2022-04-17 20:40:10
21623 5a5d92d9aface00009668531 高中 解答题 自招竞赛 设函数$$f_n(x)=1+x+\dfrac {1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac {1}{n!}x^n.$$ 2022-04-17 20:40:10
21622 5a5d94d2aface0000966853c 高中 解答题 自招竞赛 设 $x$、$y$ 是非负实数，$a=\sqrt x+\sqrt y$，$b=\sqrt {x+2}+\sqrt {y+2}$．若 $a$、$b$ 是两个不相邻的整数，求 $a$、$b$ 的值． 2022-04-17 20:39:10
21621 5a5d958daface00008f80468 高中 解答题 自招竞赛 平面上 $2n$ 个点（$n>1$，$n \in \mathbb N$），无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意 $n^2+1$ 条线段染成红色．求证：三边都为红色的三角形至少有 $n$ 个． 2022-04-17 20:39:10
21620 5a5d96a7aface00009668543 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，$$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n=\dfrac {a_n}{b_n},$$其中 $a_n$、$b_n$ 为互质的正整数．对质数 $p$，令集合$$S_p=\{n\mid n \in \mathbb N_+, p |a_n \}.$$证明：对每一个质数 $p \geqslant 5$，集合 $S_p$ 中至少有三个元素． 2022-04-17 20:39:10
21619 5a5d9438aface00008f80460 高中 解答题 自招竞赛 已知圆 $O$ 的内接五边形 $ABCDE$ 中 $AD$ 与 $BE$ 相交于点 $F$，$CF$ 的延长线交圆 $O$ 于点 $P$，且 $AB \cdot CD=BC \cdot ED$．求证：$OP \perp AE$． 2022-04-17 20:38:10
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