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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21598 591159c4e020e700094b093e 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $y^2=4x$ 的内接三角形 $ABC$ 的重心恰好是抛物线的焦点，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值． 2022-04-17 20:26:10
21597 5a5eb1b44b78b40008273a1b 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1: y^2=4x$，曲线 $C_2: (x-4)^2+y^2=8$．经过 $C_1$ 上一点 $P$ 作一条倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$，与 $C_2$ 交于两个不同的点 $Q$、$R$，求 $|PQ|\cdot |PR|$ 的取值范围． 2022-04-17 20:26:10
21596 5a5eb0924b78b40007546919 高中 解答题 高中习题 设数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_{n+1}a_{n+2}-a_n^2$，$n =1,2,\cdots.$ 2022-04-17 20:25:10
21595 5a5eaf2d4b78b40007546914 高中 解答题 高中习题 设不等式 $|2^x-a|<|5-2^x|$ 对所有 $x\in [1,2]$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:25:10
21594 5a5ea5a64b78b400082739ea 高中 解答题 高中习题 设实数 $a$、$b$、$c$ 满足 $a+b+c=0$．令 $d=\max \{|a|,|b|,|c|\}$．证明：$$|(1+a)(1+b)(1+c)|\geqslant 1-d^2.$$ 2022-04-17 20:24:10
21593 5a5ea6b14b78b400082739ef 高中 解答题 高中习题 给定正整数 $m$，证明：存在正整数 $k$，使得可将正整数集 $\mathbb N_+$ 分拆为 $k$ 个互不相交的子集 $A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_k$，每个子集 $A_i$ 中均不存在 $4$ 个数 $a$、$b$、$c$、$d$（可以相同），满足 $ab-cd=m$． 2022-04-17 20:24:10
21592 5a5ea7f14b78b400075468f1 高中 解答题 高中习题 如图，点 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\omega$ 上 $\overparen {BC}$ 的中点，直线 $DA$ 与圆 $\omega$ 过点 $B$、$C$ 的切线分别相交于点 $P$、$Q$，$BQ$ 与 $AC$ 的交点为 $X$，$CP$ 与 $AB$ 的交点为 $Y$，$BQ$ 与 $CP$ 的交点为 $T$．求证：$AT$ 平分线段 $XY$． 2022-04-17 20:23:10
21591 5a5ea8c54b78b400082739f5 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,\cdots,a_{20} \in \{1,2,\cdots,5\}$，$b_1,b_2,\cdots,b_{20} \in \{1,2,\cdots,10\}$，集合$$X=\{(i,j)\mid 1 \leqslant i<j\leqslant 20,(a_i-a_j)(b_i-b_j)<0\},$$求 $X$ 的元素个数的最大值． 2022-04-17 20:23:10
21590 5a5ea1c94b78b400075468e2 高中 解答题 高中习题 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心．以 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径作圆 $\Gamma_1$，以 $I$ 为圆心，$IB$ 为半径作圆 $\Gamma_2$，过点 $B$、$I$ 的圆 $\Gamma_3$ 与 $\Gamma_1$、$\Gamma_2$ 分别交于点 $P$、$Q$（不同于点 $B$）．设 $IP$ 与 $BQ$ 交于点 $R$．证明：$BR \perp CR$． 2022-04-17 20:23:10
21589 5a5ea2634b78b400075468e7 高中 解答题 高中习题 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1$，$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n+n,&a_n \leqslant n,\\ a_n-n,&a_n >n,\end{cases} n=1,2,\cdots.$$求满足 $a_r<r \leqslant 3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数． 2022-04-17 20:22:10
21588 5a5ea32b4b78b400082739db 高中 解答题 高中习题 将 $33 \times 33$ 方格纸中每个小方格染成三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值． 2022-04-17 20:22:10
21587 5a5ea49f4b78b400082739e1 高中 解答题 高中习题 设 $m$、$n$ 均是大于 $1$ 的整数，$m\geqslant n$．$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 是 $n$ 个不超过 $m$ 的互不相同的正整数，且 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 互质．证明：对任意实数 $x$，均存在一个 $i$（$1 \leqslant i \leqslant n$），使得 $||a_ix||\geqslant \dfrac {2}{m(m+1)}||x||$，这里 $||y||$ 表示实数 $y$ 到与它最近的整数的距离． 2022-04-17 20:21:10
21586 5a5e9e3f4b78b400082739c6 高中 解答题 高中习题 设 $k$、$m$ 为实数，不等式 $|x^2-kx-m|\leqslant 1$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立．证明：$b-a\leqslant 2\sqrt 2$． 2022-04-17 20:20:10
21585 5a5e9ec94b78b400082739cb 高中 解答题 高中习题 设 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 是非负实数，满足 $x_1+x_2+x_3=1$，求$$(x_1+3x_2+5x_3)\left(x_1+\dfrac {x_2}{3}+\dfrac {x_3}{5}\right)$$的最小值和最大值． 2022-04-17 20:19:10
21584 5a5ea0184b78b400082739d0 高中 解答题 高中习题 设复数 $z_1$、$z_2$ 满足 $ {\mathrm {Re}} (z_1)>0$，$ {\mathrm {Re}} (z_2)>0$，且 $ {\mathrm {Re}} (z_1^2)= {\mathrm {Re}} (z_2^2)=2$（其中 $ {\mathrm {Re}} (z)$ 表示复数 $z$ 的实部）． 2022-04-17 20:19:10
21583 59111db740fdc700073df55e 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A=\left\{\left(x,y\right)\mid x^2+y^2\leqslant 1,x,y\in{\mathbb{Z}}\right\}$，定义集合\[A\oplus B=\left\{\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right) \mid \left(x_1,y_1\right)\in A,\left(x_2,y_2\right)\in B\right\},\]如果集合 $B_n=\left\{(x,y) \mid |x|+|y|\leqslant n,x,y\in{\mathbb{Z}}\right\}$，其中 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，求 $A\oplus B_n$ 中的元素个数 $f(n)$． 2022-04-17 20:18:10
21582 59925db798cf7a000b143604 高中 解答题 高中习题 已知 $F_1$，$F_2$ 是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$ 是它们的一个公共点，且 $\angle{F_1PF_2}=\dfrac{\pi}{3}$，求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值． 2022-04-17 20:18:10
21581 599261f1e8af00000a8cfbbc 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，点 $M(m,0)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，且不与点 $F$ 重合，动点 $A$ 在抛物线上，且不过点 $O$．若 $\angle FAM$ 恒为锐角，求 $m$ 的取值范围． 2022-04-17 20:17:10
21580 59925ee998cf7a000b143608 高中 解答题 高中习题 如图，已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 作直线与双曲线右支交于 $P,Q$ 两点，且 $PF_1\perp PQ$．记 $\lambda =\dfrac{|PQ|}{|PF_1|}$，若 $\lambda\in\left[\dfrac {5}{12},\dfrac{4}{3}\right]$，求双曲线离心率的取值范围． 2022-04-17 20:17:10
21579 5927dbfa50ce8400087afa55 高中 解答题 高考真题 已知 $a$ 是给定的实常数，设函数 $f\left(x\right) = {\left(x - a\right)^2}\left(x + b\right){{\mathrm{e}}^x}$，$b \in {\mathbb{R}}$，$x = a$ 是 $f\left(x\right)$ 的一个极大值点． 2022-04-17 20:16:10
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