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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21918 5a508f9bc0972c000bdd2644 高中 解答题 自招竞赛 已知 $m=42$，且集合 $S=\{1,2,\cdots,51m\}$．$A$ 为 $S$ 的子集，且满足 $|A|=50m$，求证：存在非空子集 $X,Y\subseteq S$，满足：
① $X\cap Y=X\cap A=Y\cap A=\varnothing$；
② $\displaystyle\sum_{x\in X}=\sum_{y\in Y}y$；
③ $\displaystyle\sum_{x\in X}x^2=\sum_{y\in Y}y^2$．		 2022-04-17 20:23:13
21917 5a508fd5c0972c000bdd2649 高中 解答题 自招竞赛 给定素数 $p$，已知 $n,a$ 为正整数，且 $\gcd (a,p)=1$，求证：存在无穷个 $k\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $p^n\mid k^k-a$． 2022-04-17 20:22:13
21916 5a5090adc0972c000bdd2656 高中 解答题 自招竞赛 已知 $[0,n]$ 的 $n$ 元子集 $S$ 满足 $0\in S$，$n\in S$．若 $S+S=\{x+y\mid x,y\in S\}$ 中恰有 $2n$ 个元素，则称 $S$ 均有性质 $P(n)$，求所有具有性质 $P(n)$ 的集合 $S$ 的个数． 2022-04-17 20:22:13
21915 5a5090d5c0972c000bdd265d 高中 解答题 自招竞赛 求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，满足对任意实数 $x,y$ 均有\[f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x).\] 2022-04-17 20:21:13
21914 5a509319c0972c000bdd267f 高中 解答题 自招竞赛 给定奇素数 $p$ 和整数 $a$，求方程 $x^2+y^2\equiv a \pmod p$ 在模 $p$ 意义下解的个数． 2022-04-17 20:20:13
21913 5a51bdfbc0972c000bdd2695 高中 解答题 高中习题 设直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 相交于 $A,B$ 两点，与双曲线 $x^2-y^2=1$ 相交于 $C,D$ 两点，且 $C,D$ 三等分线段 $AB$，求直线 $l$ 的方程． 2022-04-17 20:20:13
21912 5a51c771c0972c000a466e62 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系中 $xOy$ 中，圆 $O:x^2+y^2=1$，直线 $l:kx-y-3k+1=0$． 2022-04-17 20:20:13
21911 5a4f8354c0972c000a466e06 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax^2-bx-1$（$a,b\in\mathbb R$，${\rm e}$ 为自然对数的底数）． 2022-04-17 20:19:13
21910 5a4f83efc0972c000bdd2626 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，过焦点且垂直于长轴的弦长为 $\sqrt 2$． 2022-04-17 20:18:13
21909 5a51d572c0972c000a466e86 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x,y$ 是正整数，且 $x>y>2014$，$\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1{xy}=2014$，试求 $x-y$ 的最大值． 2022-04-17 20:18:13
21908 5a51d5acc0972c000a466e8e 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$BF$ 和 $CF$ 分别是 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的评分吸纳，$O$ 是内心，且满足 $OE=OF$，求证：$\triangle ABC$ 是等腰三角形或 $\angle A=60^\circ$． 2022-04-17 20:18:13
21907 5a51d5e3c0972c000a466e95 高中 解答题 自招竞赛 从 $1,2,3,\cdots,2014$ 这 $2014$ 个数中抽取 $n$ 个数，放入集合 $A$ 中，从 $A$ 中任意取 $3$ 个数，总有其中一个数能够整除另一个，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:17:13
21906 5a530ee1c0972c000bdd2708 高中 解答题 自招竞赛 设 $(1+\sqrt 3)^n=a_n+\sqrt 3b_n$（$n,a_n,b_n\in\mathbb N^{\ast}$）． 2022-04-17 20:16:13
21905 5a531f36c0972c000a466efb 高中 解答题 自招竞赛 已知正数 $a,b,c$ 的和为 $1$，求证：$\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\geqslant \dfrac 12$． 2022-04-17 20:16:13
21904 5a530d29c0972c000a466edc 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2AC$，$AD$ 是 $\angle A$ 的平分线，且 $AD=k\cdot AC$． 2022-04-17 20:15:13
21903 5a530e67c0972c000bdd2703 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A,B$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）上不同的两点． 2022-04-17 20:15:13
21902 5a530f59c0972c000a466ee6 高中 解答题 高中习题 设四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形，且 $PA\perp ABCD$． 2022-04-17 20:14:13
21901 5a531f0ec0972c000bdd2720 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 在 $BC$ 上，$DE\parallel AC$，$DF\parallel AB$，$E,F$ 分别在 $AB,AC$ 上，$D$ 关于 $EF$ 对称的点为 $G$，求证：$A,G,B,C$ 四点共圆． 2022-04-17 20:14:13
21900 5a5321ef9abadf00087e3fbd 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），方程 $f(x)=x$ 的两根为 $x_1,x_2$ 且 $x_1>0$，$x_2-x_1>\dfrac 1a$，又 $t\in (0,x_1)$，试比较 $f(t)$ 与 $x_1$ 的大小． 2022-04-17 20:13:13
21899 5a5322f29abadf0009afdf2d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的不恒为 $0$ 的函数，对于任意 $a,b\in\mathbb R$，均有 $f(ab)=af(b)+bf(a)$． 2022-04-17 20:13:13
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