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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21938 59f15c2c9552360008e02f7b 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=\begin{cases}x^2+bx+c,&x\leqslant 0,\\2,&x>0,\end{cases}$ 其中 $b>0$，$c\in \mathbb R$．当且仅当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得最小值 $-2$． 2022-04-17 20:34:13
21937 5a2a5074f25ac1000885efa3 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\sin x \cdot \cos y=\dfrac 12\left[\sin (x+y)+\sin (x-y)\right]$； 2022-04-17 20:33:13
21936 5a4de26bc0972c000bdd2584 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 为曲线 $2x^2-5xy+2y^2=1$ 上的动点，求点 $P$ 到原点距离的最小值． 2022-04-17 20:33:13
21935 5a4de2acc0972c000a466d3e 高中 解答题 自招竞赛 定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对任意 $x,y$，均有 $f(x+y)=f(xy)$，求证：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒为常数． 2022-04-17 20:32:13
21934 5a4de2d9c0972c000bdd258c 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且 $\tan x\cdot \tan y\geqslant 3$，求证：$\dfrac{\cos x+\cos y}2\geqslant \sqrt{\dfrac{\cos x\cdot \cos y}{\cos (x-y)}}$． 2022-04-17 20:32:13
21933 5a4de335c0972c000a466d46 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为不小于 $2$ 的正整数，且 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in (1,2]$，求证：\[\sum_{i=1}^na_i\cdot \sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{a_i+1}\geqslant n \prod_{i=1}^na_i\cdot \sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i+1}.\] 2022-04-17 20:31:13
21932 5a4de3a8c0972c000a466d52 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A$ 的元素个数为 $n$，求证：存在集合 $A$ 的一个子集 $B$ 满足：$B$ 的元素个数大于 $\dfrac 13n$，且对于任意 $x,y\in B$，均有 $x+y\notin B$． 2022-04-17 20:31:13
21931 5a4de78bc0972c000a466d77 高中 解答题 自招竞赛 已知 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，角 $A,B,C$ 的对边长分别为 $a,b,c$，点 $P$ 到三边 $BC,CA,AB$ 的距离分别为 $d_1,d_2,d_3$，$S$ 为 $\triangle ABC$ 的面积，求证：$\dfrac a{d_1}+\dfrac b{d_2}+\dfrac c{d_3}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{2S}$． 2022-04-17 20:30:13
21930 5a4de7b0c0972c000a466d7c 高中 解答题 自招竞赛 求所有满足 $\tan A+\tan B+\tan C\leqslant [\tan A]+[\tan B]+[\tan C]$ 的非直角三角形． 2022-04-17 20:30:13
21929 5a4de80dc0972c000a466d83 高中 解答题 自招竞赛 在 $x$ 轴上方作于 $x$ 轴相切的圆，切点横坐标为 $\sqrt 3$，过 $B(-3,0)$，$C(3,0)$ 分别作圆的切线，两切线交于 $P$，$Q$ 为 $C$ 在锐角 $BPC$ 的角平分线上的射影． 2022-04-17 20:29:13
21928 5a4dec77c0972c000bdd25e5 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)=\ln x-2x$． 2022-04-17 20:28:13
21927 5a4dec9fc0972c000a466db6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=1$，且 $A,B,C\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求 $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$ 的最大值． 2022-04-17 20:28:13
21926 5a4dece3c0972c000a466dbd 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于 $A,B$ 和 $C,D$，求四边形 $ACBD$ 的面积的取值范围． 2022-04-17 20:28:13
21925 5a4ded57c0972c000a466dc3 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x_i\in \mathbb R$（$i=1,2,3,4,5,6$），且\[x_i\cdot \sum_{j\ne i,1\leqslant j\leqslant 6}x_j=-3,\]其中 $i=1,2,3,4,5,6$．求 $x_1$ 的所有可能的值． 2022-04-17 20:27:13
21924 5a4deda4c0972c000bdd25ef 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\{a_n\}$ 是单调递增的正整数数列，且\[\dfrac{m}{a_1}+\dfrac{m}{a_2}+\cdots+\dfrac{m}{a_n}+\dfrac{m}{a_{n+1}}=1,n\in\mathbb N^{\ast},\]其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$．求 $m$ 的值以及 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 20:26:13
21923 5a4b481d34d6f90007a584cd 高中 解答题 自招竞赛 求满足以下条件的正整数数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N$）的个数：对任意 $n\in\mathbb N$ 都有 $a_n\leqslant 100$ 且 $a_n=a_{n+100}$ 且 $a_n\ne a_{n+1}$． 2022-04-17 20:26:13
21922 5a4b486f34d6f90007a584d4 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 为实数，求 $f(a,b,c)=\displaystyle\max_{0\leqslant x\leqslant 1}|x^3+ax^2+bx+c|$ 的最小值． 2022-04-17 20:25:13
21921 5a4b48ea34d6f9000837b8e2 高中 解答题 自招竞赛 设有 $n$ 人，任意两人在其他 $n-2$ 人中都至少有 $2016$ 位共同的朋友，朋友关系是相互的．求所有 $n$，使得在满足以上条件的任何情形下都存在 $5$ 人彼此是朋友． 2022-04-17 20:25:13
21920 5a507173c0972c000a466e1d 高中 解答题 自招竞赛 集合 $S$ 有 $2012$ 个元素，满足任意两个元素的比不为整数．对 $S$ 的任一个元素 $x$，若 $S$ 中存在不同于 $x$ 的互异元素 $y,z$，使得 $x^2\mid yz$，那么就说 $x$ 是好元素．求 $S$ 中好元素的最大可能的个数． 2022-04-17 20:24:13
21919 5a5071e0c0972c000bdd2637 高中 解答题 自招竞赛 有 $9$ 个盒子，编号分别为 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$，把 $n$ 个不同的小球放进这些盒子中，使得 $1$ 号盒子中球的个数等于 $2,3,4,5$ 号盒子中球的个数之和，将这样的放法总数记为 $a_n$．对于任意正整数 $n$，不等式 $a_{n+1}<c\cdot a_n$ 都成立，求最小的实数 $c$． 2022-04-17 20:23:13
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