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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21898 5a5323379abadf00087e3fc2 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=-2x+4$，$S_n=f\left(\dfrac 1n\right)+f\left(\dfrac 2n\right)+\cdots+f\left(\dfrac nn\right)$，$n=1,2,\cdots,$，若不等式 $\dfrac{a^n}{S_n}<\dfrac{a^{n+1}}{S_{n+1}}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:12:13
21897 5a5339ffcf5696000778cf96 高中 解答题 自招竞赛 某年级有 $369$ 名学生，能否肯定至少有两名学生的生日相同？为什么？每 $23$ 名学生中，至少有两名学生生日相同的概率是多少？ 2022-04-17 20:11:13
21896 5a533a43cf56960008ecb798 高中 解答题 自招竞赛 在一昼夜中，钟表的时针与分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针与秒针何时重合？请写出理由． 2022-04-17 20:11:13
21895 5a533a82cf5696000778cf9b 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1=\sqrt 2$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$（$n=1,2,\cdots$），试问数列 $\{a_n\}$ 是否单调？是否有界？是否有极限？给出你的证明． 2022-04-17 20:10:13
21894 5a533af4cf5696000778cfa0 高中 解答题 自招竞赛 早晨 $8$ 点多钟有两辆班车先后离开老校区开往新校区．两辆车的速度都是每小时 $60$ 公里．$8$ 点 $32$ 分的实收，第一辆班车离开老校区的距离是第二辆班车的 $3$ 倍，到了 $8$ 点 $39$ 分的时候，第一辆班车离开老校区的距离是第二辆班车的 $2$ 倍．那么第一辆班车是 $8$ 点多少分离开老校区的？ 2022-04-17 20:10:13
21893 5a533b29cf5696000778cfa5 高中 解答题 自招竞赛 在棱长为 $8$ 的正四面体上，能否打出一个圆洞，使得直径为 $5$ 的圆柱能够顺利穿过？请说明理由． 2022-04-17 20:09:13
21892 5a533c40cf5696000778cfaa 高中 解答题 自招竞赛 甲班的 $A,B,C,D$ 四人与乙班的 $a,b,c,d$ 四人进行象棋比赛．每班参赛的每一个人都要与另一班参赛的每一个人各赛一场且只赛一场，$4$ 天赛完，恰好每人每天都有一场比赛．比赛日程表中已经排好了一些场次，另一些场次中甲班的 $A,B,C,D$ 已经排出，请你把尚未排好的场次中的 $x_1,x_2,\cdots,x_9$ 乙班的 $a,b,c,d$，并说明推理过程．\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
Day\quad 1&A:a&B:b&C:c&D:d\\ \hline
Day\quad 2&A:x_1&B:x_2&C:x_3&D:x_4\\ \hline
Day\quad 3&A:x_5&B:x_6&C:x_7&D:a\\ \hline
Day\quad 4&A:c&B:a&C:x_8&D:x_9\\ \hline\end{array}\]		 2022-04-17 20:08:13
21891 5a533cbdcf5696000778cfaf 高中 解答题 自招竞赛 某缝纫社有甲、乙、丙、丁四个小组．甲组每天能缝制 $8$ 件上衣或 $10$ 条裤子；乙组每天能缝制 $9$ 件上衣或 $12$ 条裤子；丙组每天能缝制 $7$ 件上衣或 $11$ 条裤子；丁组每天能缝制 $6$ 件上衣或 $7$ 条裤子．现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），问 $7$ 天中这四个小组最多能缝制多少套衣服？ 2022-04-17 20:08:13
21890 5a533f02cf56960008ecb7ad 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c>0$，$ab+bc+ac\leqslant 3abc$，求证：$a+b+c\leqslant a^3+b^3+c^3$． 2022-04-17 20:07:13
21889 5a533f62cf56960008ecb7b2 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3=(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），求 $a_n$． 2022-04-17 20:06:13
21888 5a533f88cf5696000778cfdd 高中 解答题 自招竞赛 正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $1$，$E$ 为 $AB$ 中点，$J$ 在 $AD$ 上且 $AJ=AD$，求异面直线 $AC$ 与 $EJ$ 的夹角的余弦值． 2022-04-17 20:06:13
21887 5a53401fcf5696000778cfe2 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 中，$AB=4$，$BC=3$，$AC=\sqrt{13}$，$D$ 为线段 $AB$ 上一点． 2022-04-17 20:05:13
21886 5a534510cf56960008ecb7b9 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\sin x+2\cos x$． 2022-04-17 20:05:13
21885 595c91b66e0c650007a042bb 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x$，项数为 $2m+1$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，且公差 $d\ne 0$，若 $f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})=0$，求证：$a_{m+1}=0$． 2022-04-17 20:04:13
21884 590a95536cddca00078f3876 高中 解答题 高中习题 若函数 $f(x)=x^4+2x^3+4x^2+cx$ 的图象关于直线 $x=m$ 对称，求 $f(x)$ 的最小值． 2022-04-17 20:04:13
21883 590a860a6cddca00092f6e8d 高中 解答题 高中习题 证明：${\rm e}^{x-1}\ln x+\dfrac{{\rm e}^x+2x-1}{x^2}>\dfrac 52$． 2022-04-17 20:04:13
21882 590bd7a56cddca00092f711e 高中 解答题 高中习题 已知 $x$ 为实数，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[1.2]=1$，$[-1.2]=-2$，$[1]=1$．对于函数 $f(x)$，若存在 $m\in\mathbb R\land m\notin\mathbb Z$，使得 $f(m)=f([m])$，则称函数 $f(x)$ 是 $\Omega$ 函数． 2022-04-17 20:04:13
21881 59102a2a40fdc70009113de2 高中 解答题 高中习题 设 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 是一组不为零的实数．证明：关于 $x$ 的方程$$\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n$$至多有两个实根． 2022-04-17 20:03:13
21880 59083471060a05000a4a9834 高中 解答题 高中习题 函数 $f(x)=(x^2-ax+2a)\ln (x+1)$ 的图象经过四个象限，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:03:13
21879 59081d5f060a050008e621d6 高中 解答题 高中习题 讨论关于 $x$ 的方程 $\left(x^2-1\right)^2-2\left|x^2-1\right|+k=0$ 的根的个数． 2022-04-17 20:02:13
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