已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，过焦点且垂直于长轴的弦长为 $\sqrt 2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
已知点 $A,B$ 是椭圆上的两点，点 $C$ 为椭圆的上顶点，$\triangle ABC$ 的重心恰好是椭圆的右焦点 $F$，求 $A,B$ 所在的直线的斜率；标注答案$\dfrac 32$解析椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，通径长为 $\sqrt 2$，于是椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,\]进而 $C(0,1)$，$F(1,0)$，弦 $AB$ 的中点 $M$ 坐标为 $\left(\dfrac 32,-\dfrac 12\right)$，直线 $OM$ 的斜率为 $-\dfrac 13$．由于 $\triangle ABC$ 的重心为 $F$，于是直线 $CF$ 平分弦 $AB$，因此根据椭圆的“垂径定理”，直线 $AB$ 的斜率 $k$ 满足\[k\cdot\left(-\dfrac 13\right)=-\dfrac 12,\]因此直线 $AB$ 的斜率为 $\dfrac 32$．
-
过椭圆的右焦点 $F$ 作直线 $l_1,l_2$，直线 $l_1$ 与椭圆分别交于点 $M,N$，直线 $l_2$ 与椭圆分别交于点 $P,Q$，且 $MP^2+NQ^2=NP^2+MQ^2$，求四边形 $MPNQ$ 的面积 $S$ 最小时直线 $l_1$ 的方程．标注答案$x\pm y-1=0$解析由于\[MP^2+NQ^2=NP^2+MQ^2,\]于是 $MN\perp PQ$．设直线 $l_1$ 的倾斜角为 $\theta$，则根据椭圆的焦点弦长公式，有\[MN=\dfrac{2\sqrt 2}{1+\sin^2\theta},PQ=\dfrac{2\sqrt 2}{1+\cos^2\theta},\]于是\[\dfrac{1}{MN}+\dfrac{1}{PQ}=\dfrac{3}{2\sqrt 2},\]从而\[\begin{split} S&= \dfrac 12\cdot MN\cdot PQ\\
&=\dfrac 12\cdot \dfrac{8}9\cdot MN\cdot PQ\cdot \left(\dfrac{1}{MN}+\dfrac{1}{PQ}\right)^2\\
&=\dfrac 49\cdot \left(\dfrac{PQ}{MN}+\dfrac{MN}{PQ}+2\right)\\
&\geqslant {16}9,\end{split}\]等号当且仅当 $\tan\theta=\pm 1$ 时取得，从而当 $S$ 最小时直线 $l_1$ 的方程为 $x\pm y-1=0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
