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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21958 590a8f796cddca000a081892 高中 解答题 高中习题 袋中共有 $3n$ 个小球，红、绿、蓝各 $n$ 个．现从袋中随机取球，每次取出 $3$ 个小球不放回，直至某种颜色的小球被全部取出，求取球次数 $X$ 的分布列． 2022-04-17 20:44:13
21957 5a4b499534d6f90007a584de 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\left(x^{2014}+1\right)\left(1+x^2+x^2+\cdots+x^{2012}\right)=2014x^{2013}$ 的实数根． 2022-04-17 20:44:13
21956 5a4b49cf34d6f90007a584e3 高中 解答题 自招竞赛 若 $\alpha,\beta,\gamma\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且 $\cos^2\alpha+cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$，求证：$\tan\alpha\cdot\tan\beta\cdot\tan\gamma \geqslant 2\sqrt 2$． 2022-04-17 20:43:13
21955 5a4b4a2934d6f9000837b8f3 高中 解答题 高中习题 求函数 $f(x)=\dfrac 2x\cdot \left(\sqrt{36-x^2}+\sqrt{64-x^2}\right)$（$0<x<6$）的最大值． 2022-04-17 20:43:13
21954 5a4b4a6134d6f90007a584f0 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=3$，且 $a_{n+3}=\dfrac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），求证：该数列中的项均为整数． 2022-04-17 20:42:13
21953 5a4b4ad334d6f90007a584f8 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，求证：$\sin\dfrac{\pi}n\cdot \sin\dfrac{2\pi}n\cdots\sin\dfrac{(n-1)\pi}n=\dfrac{n}{2^{n-1}}$． 2022-04-17 20:42:13
21952 5a4b4bca34d6f90007a58500 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，求证：$\cos A+\cos B+\cos C\leqslant \dfrac 32$． 2022-04-17 20:41:13
21951 5a4b496134d6f9000837b8ea 高中 解答题 高中习题 求 $f(x)=\dfrac{x-x^3}{1+2x^2+x^4}$ 的最大值与最小值的乘积． 2022-04-17 20:41:13
21950 5a4b4a9b34d6f9000837b8fc 高中 解答题 高中习题 设正数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_0=a_1=1$，$\sqrt{a_na_{n-2}}+\sqrt{a_{n-1}a_{n-2}}=2a_{n-1}$（$n\geqslant 2$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 20:40:13
21949 5a4b556f34d6f9000837b922 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 为实数，使得方程 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有 $3$ 个实根，求证：如果 $-2\leqslant a+b+c\leqslant 0$，则至少有一个根在区间 $[0,2]$ 中． 2022-04-17 20:40:13
21948 5a4b55fc34d6f90007a5852f 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B,C\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且 $\sin^2 A+\sin^2 B+\sin ^2 C=1$，求 $A+B+C$ 的最大值． 2022-04-17 20:39:13
21947 5a4b565634d6f9000837b931 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\cos\dfrac{2\pi}{2n+1}+\cos\dfrac{4\pi}{2n+1}+\cdots+\cos\dfrac{2n\pi}{2n+1}=-\dfrac 12$． 2022-04-17 20:39:13
21946 5a4b568434d6f9000837b937 高中 解答题 高中习题 设 $x_1\geqslant x_2\geqslant x_3\geqslant x_4\geqslant 2$，且 $x_2+x_3+x_4\geqslant x_1$，求证：$(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\leqslant 4x_1x_2x_3x_4$． 2022-04-17 20:39:13
21945 5a4b570234d6f90007a58539 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=1$，$b_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}$，$b_{n+1}=\dfrac{1+b_n+a_nb_n}{a_n}$，求证：$a_{2013}<5$． 2022-04-17 20:38:13
21944 591423f51edfe20007c5099b 高中 解答题 高中习题 已知圆 $O:x^2+y^2=2$ 和点 $M(4,2)$． 2022-04-17 20:38:13
21943 590c3157857b420007d3e526 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知四棱锥 $P - ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是菱形，$PA \perp \text{平面} ABCD$，点 $F$ 为 $PC$ 的中点． 2022-04-17 20:38:13
21942 59706c75dbbeff000706d335 高中 解答题 高中习题 求函数 $f(x)=\ln(ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}$（$x\geqslant 0,a\in\mathbb R^{+}$）的单调区间； 2022-04-17 20:37:13
21941 5a4d99ec8b3d5d0008a68f19 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，求证：$\dfrac{a^2+b}{b+c}+\dfrac{b^2+c}{c+a}+\dfrac{c^2+a}{a+b}\geqslant 2$． 2022-04-17 20:36:13
21940 59127623e020e7000878f81b 高中 解答题 自招竞赛 设四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形，且 $PA \perp \text{平面} ABCD$． 2022-04-17 20:36:13
21939 59f15c2c9552360008e02f79 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha$ 是 $\triangle{ABC}$ 的最小内角，并且使关于 $x$ 的方程 $x^2\sin \alpha+x\cos \alpha+\beta=0$（$\beta\in \mathbb R$）无实数解．证明：$\beta>\dfrac{\sqrt 3}{24}$． 2022-04-17 20:35:13
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