在平面直角坐标系中 $xOy$ 中，圆 $O:x^2+y^2=1$，直线 $l:kx-y-3k+1=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若存在圆 $O$ 的直径 $AB$ 和直线 $l$ 上的点 $P$，使得 $AP$ 与圆 $O$ 交于点 $Q$，且 $BP\parallel OQ$，求实数 $k$ 的取值范围；标注答案$\left(-\dfrac 43,+\infty\right)$解析如图，先固定 $AB$，考虑点 $Q$ 在圆 $O$ 上运动，则 $P$ 点的轨迹是将圆 $O$ 以 $A$ 为缩放中心，相似比为 $2$ 进行缩放得到的圆 $\Gamma(A)$（考虑到 $B,P,Q$ 不共线，因此要去掉点 $A$ 及其关于圆心的对称点）．
随着 $A$ 在圆 $O$ 上运动，轨迹 $\Gamma(A)$ 上的点构成集合\[M=\{(x,y)\mid x^2+y^2<9\}.\]题意即直线 $l$ 与集合 $M$ 有公共点，因此\[\dfrac{|-3k+1|}{\sqrt{k^2+1}}<3,\]解得实数 $k$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 43,+\infty\right)$． -
若对圆 $O$ 的任意一条直径 $AB$，均存在直线 $l$ 上一点 $P$，使得 $AP$ 与圆 $O$ 交于点 $Q$，且 $BP\parallel OQ$，求实数 $k$ 的取值范围．标注答案$\left(0,\dfrac 43\right)$解析利用第 $(1)$ 小题的结果，当直线 $l$ 与集合\[N=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}\]有公共点时所有的 $\Gamma(A)$ 均与直线 $l$ 有公共点，因此\[\dfrac{|-3k+1|}{\sqrt{k^2+1}}<1,\]解得实数 $k$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 43\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
