设直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 相交于 $A,B$ 两点，与双曲线 $x^2-y^2=1$ 相交于 $C,D$ 两点，且 $C,D$ 三等分线段 $AB$，求直线 $l$ 的方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$y=\pm\dfrac{16}{25}x$，$y=\pm \dfrac{16}{13}$，$x=\pm \dfrac{25\sqrt{241}}{241}$
【解析】
设 $AB$ 的中点为 $M$，则由于 $C,D$ 三等分线段 $AB$，因此 $M$ 也是线段 $CD$ 的中点．
情形一 直线 $l$ 过原点 $O$．此时 $M$ 即为坐标原点，设 $l:y=kx$，根据题意，有\[\dfrac{1}{\dfrac{1}{25}+\dfrac{k^2}{16}}=9\cdot \dfrac{1}{1-k^2},\]解得\[k=\pm \dfrac{16}{25}.\]情形二 直线 $l$ 与 $x$ 轴平行（或重合）．设 $l:y=m$，则根据题意，有\[25\cdot\left(1-\dfrac{m^2}{16}\right)=9\cdot (1+m^2),\]解得\[m=\pm\dfrac{16}{13}.\]情形三 直线 $l$ 与 $y$ 轴平行（或重合）．设 $l:x=n$，则根据题意，有\[16\cdot \left(1-\dfrac{n^2}{25}\right)=9\cdot (n^2-1),\]解得\[n=\pm \dfrac{25}{\sqrt{241}}.\]情形四 直线 $l$ 既不通过原点，也不与坐标轴平行（或重合）．此时根据椭圆的“垂径定理”，直线 $OM$ 的斜率 $k_{OM}$ 和直线 $l$ 的斜率 $k_l$ 满足\[k_{OM}\cdot k_l=-\dfrac{16}{25},\]而根据双曲线的“垂径定理”，有\[k_{OM}\cdot k_l=1,\]矛盾．
综上所述，直线 $l$ 的方程为 $y=\pm\dfrac{16}{25}x$，$y=\pm \dfrac{16}{13}$，$x=\pm \dfrac{25\sqrt{241}}{241}$．
综上所述，直线 $l$ 的方程为 $y=\pm\dfrac{16}{25}x$，$y=\pm \dfrac{16}{13}$，$x=\pm \dfrac{25\sqrt{241}}{241}$．
答案
解析
备注
