求满足以下条件的正整数数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N$）的个数：对任意 $n\in\mathbb N$ 都有 $a_n\leqslant 100$ 且 $a_n=a_{n+100}$ 且 $a_n\ne a_{n+1}$．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学优秀中学生数学科学营数学试题
【标注】
【答案】
$99^{100}+99$
【解析】
根据题意，所求个数即有 $100$ 种颜色且 $n=100$ 的环染色方案，将 $k=100$，$n=100$ 代入\[x_n=(k-1)^{n-1}+(k-1)\cdot (-1)^n,\]可得\[x_{100}=99^{100}+99.\]
答案
解析
备注
