设 $a,b,c$ 为实数，求 $f(a,b,c)=\displaystyle\max_{0\leqslant x\leqslant 1}|x^3+ax^2+bx+c|$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学优秀中学生数学科学营数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{32}$
【解析】
设 $g(x)=x^3+ax^2+bx+c$，则\[\begin{split}
g(0)&=c,\\
g\left(\dfrac 14\right)&=\dfrac1{64}+\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{4}b+c,\\
g\left(\dfrac 34\right)&=\dfrac{27}{64}+\dfrac{9}{16}a+\dfrac 34b+c,\\
g(1)&=1+a+b+c,\end{split}\]从而\[\begin{split}\max\limits_{0\leqslant x\leqslant 1}|g(x)|&\geqslant \dfrac 16|g(0)|+\dfrac 13\left|g\left(\dfrac 14\right)\right|+\dfrac 13\left|g\left(\dfrac 34\right)\right|+\dfrac 16|g(1)|\\
&\geqslant\left|-\dfrac 16g(0)+\dfrac 13g\left(\dfrac 14\right)-\dfrac 13g\left(\dfrac 34\right)+\dfrac 16g(1)\right|\\
&=\dfrac{1}{32},\end{split}\]且当\[(a,b,c)=\left(-\dfrac 32,\dfrac9{16},-\dfrac{1}{32}\right)\]时等号可以同时取得．因此所求最小值为 $\dfrac{1}{32}$．
g(0)&=c,\\
g\left(\dfrac 14\right)&=\dfrac1{64}+\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{4}b+c,\\
g\left(\dfrac 34\right)&=\dfrac{27}{64}+\dfrac{9}{16}a+\dfrac 34b+c,\\
g(1)&=1+a+b+c,\end{split}\]从而\[\begin{split}\max\limits_{0\leqslant x\leqslant 1}|g(x)|&\geqslant \dfrac 16|g(0)|+\dfrac 13\left|g\left(\dfrac 14\right)\right|+\dfrac 13\left|g\left(\dfrac 34\right)\right|+\dfrac 16|g(1)|\\
&\geqslant\left|-\dfrac 16g(0)+\dfrac 13g\left(\dfrac 14\right)-\dfrac 13g\left(\dfrac 34\right)+\dfrac 16g(1)\right|\\
&=\dfrac{1}{32},\end{split}\]且当\[(a,b,c)=\left(-\dfrac 32,\dfrac9{16},-\dfrac{1}{32}\right)\]时等号可以同时取得．因此所求最小值为 $\dfrac{1}{32}$．
答案
解析
备注
