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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
23738 59128af4e020e700094b0c83 高中 解答题 自招竞赛 如图，曲线 $y = \sqrt x $ 上的点 ${P_i}\left( {i = 1, 2, \cdots , n, \cdots } \right)$ 与 $x$ 轴正半轴上的点 ${Q_i}$ 及原点 $O$ 构成一系列正三角形 ${P_i}{Q_{i - 1}}{Q_i}({Q_0} = O)$，记 ${a_n} = \left| {{Q_n}{Q_{n - 1}}} \right|$． 2022-04-17 20:23:30
23737 59127b5ee020e70007fbed0f 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$，求 $\dfrac{{AC}}{{AB}}$． 2022-04-17 20:22:30
23736 59127c8fe020e7000878f887 高中 解答题 自招竞赛 定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的函数 $f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}$，$${S_n} = f\left( {\dfrac{1}{n}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{n}} \right) + \cdots + f\left( {\dfrac{{n - 1}}{n}} \right),n = 2,3, \cdots .$$ 2022-04-17 20:22:30
23735 590c14c9d42ca700093fc5ed 高中 解答题 自招竞赛 实数 ${a_1} , {a_2} , \cdots,{a_{2013}}$ 满足 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{2013}} = 0$，且$$\left| {{a_1} - 2{a_2}} \right| = \left| {{a_2} - 2{a_3}} \right| = \cdots = \left| {{a_{2012}} - 2{a_{2013}}} \right|= \left| {{a_{2013}} - 2{a_1}} \right|.$$求证：${a_1} = {a_2} = \cdots = {a_{2013}} = 0$． 2022-04-17 20:21:30
23734 5911116840fdc700073df533 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 2AC$，$AD$ 是 $A$ 的角平分线，且 $AD = kAC$． 2022-04-17 20:21:30
23733 590fbd77857b42000aca3891 高中 解答题 自招竞赛 从 $O$ 点发出两条射线 ${l_1},{l_2}$，已知直线 $l$ 分别交 ${l_1},{l_2}$ 于 $A,B$ 两点，且 ${S_{\triangle OAB}} = c$（$c$ 为定值），记 $AB$ 中点为 $D$，$D$ 随着 $A,B$ 的运动构成轨迹 $\Gamma$．求证： 2022-04-17 20:20:30
23732 591281ede020e7000878f8ad 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知动直线 $l$ 经过点 $P\left( {4,0} \right)$，交抛物线 ${y^2} = 2ax$（$a > 0$）于 $A,B$ 两点．坐标原点 $O$ 是 $PQ$ 的中点，设直线 $AQ,BQ$ 的斜率分别为 ${k_{AQ}},{k_{BQ}}$． 2022-04-17 20:19:30
23731 59127d63e020e70007fbed3b 高中 解答题 自招竞赛 如图，四面体 $ABCD$ 中，$O,E$ 分别是 $BD,BC$ 的中点，$AO$ 垂直于平面 $BCD$，且 $CA = CB = CD = 2$，$AB = \sqrt 2 $，求异面直线 $AB$ 与 $ED$ 所成角的大小． 2022-04-17 20:19:30
23730 591272ade020e7000878f7c6 高中 解答题 自招竞赛 对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹． 2022-04-17 20:18:30
23729 59128277e020e7000878f8b6 高中 解答题 自招竞赛 如图，四面体 $ABCD$ 中，$AB$ 和 $CD$ 为对棱．设 $AB = a$，$CD = b$，且异面直线 $AB$ 与 $CD$ 的距离为 $d$，夹角为 $\theta $． 2022-04-17 20:18:30
23728 591286fbe020e7000878f8e9 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left( {0 , + \infty } \right)$ 上的可导函数，满足 $f\left( x \right) > 0$，且 $f\left( x \right) + f'\left( x \right) < 0$． 2022-04-17 20:17:30
23727 59b62304b049650007282fef 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求证：$5\left[a^2+(b+c)^2\right]>7(ab+bc+ca)$． 2022-04-17 20:17:30
23726 59b62304b049650007282ff9 高中 解答题 高中习题 求下列函数的值域： 2022-04-17 20:16:30
23725 59b62304b049650007282ffb 高中 解答题 高中习题 已知 $\dfrac{\cos^3\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin^3\alpha}{\sin\beta}=1$，求证：$\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}-\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\right)\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}+1\right)=0$． 2022-04-17 20:16:30
23724 59b62304b049650007283003 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=2\ln (x+2)-(x+1)^2$，$g(x)=k(x+1)$． 2022-04-17 20:15:30
23723 59b62304b049650007283009 高中 解答题 高中习题 设 $P$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的动点，$F_1,F_2$ 为椭圆的两个焦点，$I$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的内心，求点 $I$ 的轨迹方程． 2022-04-17 20:15:30
23722 59b62304b049650007283013 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)={\rm e}^{ax}-x$． 2022-04-17 20:14:30
23721 59b62304b049650007283017 高中 解答题 高中习题 已知实数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 满足 $a_1a_4-a_2a_3=1$，求 $M=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4$ 的最小值． 2022-04-17 20:13:30
23720 59b62304b04965000728301d 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标 $xOy$ 中，抛物线 $C$ 的顶点是原点，以 $x$ 轴为对称轴，且经过点 $P(1,2)$． 2022-04-17 20:12:30
23719 59b62304b04965000728301f 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\left(x^2+ax-a\right)\cdot{\rm e}^{1-x}$，其中 $a\in\mathbb R$． 2022-04-17 20:12:30
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