在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 2AC$，$AD$ 是 $A$ 的角平分线，且 $AD = kAC$．
【难度】
【出处】
2011年清华大学夏令营试题
【标注】
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求 $k$ 的取值范围；标注答案$\left( {0,\dfrac{4}{3}} \right)$解析不妨设 $\angle CAB = 2\theta $，则由$${S_{\triangle ABD}} + {S_{\triangle ACD}} = {S_{\triangle ABC}},$$得$$\dfrac{1}{2}\sin \theta \cdot AB \cdot AD + \dfrac{1}{2}\sin \theta \cdot AC \cdot AD = \dfrac{1}{2}\sin 2\theta \cdot AB \cdot AC,$$于是$$\left( {AB + AC} \right) \cdot AD = 2\cos \theta \cdot AB \cdot AC,$$所以 $k = \dfrac{4}{3}\cos \theta \in \left( {0,\dfrac{4}{3}} \right)$．
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若 ${S_{\triangle ABC}} = 1$，问 $k$ 为何值时，$BC$ 最短？标注答案$ \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$解析由$${S_{\triangle ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2AC \cdot AC \cdot \sin 2\theta = A{C^2} \cdot \sin 2\theta, $$得 $A{C^2} = \dfrac{1}{{\sin 2\theta }}$．于是\[\begin{split}B{C^2} &= A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos 2\theta \\& = \left( {5 - 4\cos 2\theta } \right) \cdot A{C^2}\\& = \dfrac{{5 - 4\cos 2\theta }}{{\sin 2\theta }}.\end{split}\]令 $y = \dfrac{{5 - 4\cos 2\theta }}{{\sin 2\theta }}$，则 $y\sin 2\theta + 4\cos 2\theta = 5$，$\sin \left({2\theta {{ + }}\varphi } \right){{ = }}\dfrac{5}{{\sqrt {{y^2} + 16} }} \leqslant 1 $．所以 $ y \geqslant 3 $，于是 $ BC \geqslant \sqrt 3 $．
当 $ \tan 2\theta = \dfrac{3}{4} $ 时取到等号，此时 $ \cos 2\theta = \dfrac{4}{5} $，于是 $ \cos \theta = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} $，$ k = \dfrac{4}{3}\cos \theta = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
