设 $P$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的动点，$F_1,F_2$ 为椭圆的两个焦点，$I$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的内心，求点 $I$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1$（$y\ne 0$），其中 $c^2=a^2-b^2$
【解析】
如图，设内切圆 $I$ 与 $F_1F_2$ 的切点为 $H$，半径为 $r$，且 $F_1H=y$，$F_2H=z$，$PF_1=x+y$，$PF_2=x+z$，$c=\sqrt{a^2-b^2}$，则\[\begin{cases} y+z=2c,\\ 2x+y+z=2a.\end{cases}\]
直线 $IF_1$ 与 $IF_2$ 的斜率之积\[k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{IH^2}{F_1H\cdot F_2H}=-\dfrac{r^2}{yz},\]而根据海伦公式，有 $\triangle PF_1F_2$ 的面积为\[(x+y+z)r=\sqrt{xyz(x+y+z)},\]因此有\[k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{x}{x+y+z}=-\dfrac{a-c}{a+c}.\]再根据椭圆的斜率积定义，可得 $I$ 点的轨迹是以 $F_1F_2$ 为长轴，离心率 $e$ 满足\[e^2-1=-\dfrac{a-c}{a+c}\]的椭圆，其标准方程为\[\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1,y\ne 0.\]
直线 $IF_1$ 与 $IF_2$ 的斜率之积\[k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{IH^2}{F_1H\cdot F_2H}=-\dfrac{r^2}{yz},\]而根据海伦公式，有 $\triangle PF_1F_2$ 的面积为\[(x+y+z)r=\sqrt{xyz(x+y+z)},\]因此有\[k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{x}{x+y+z}=-\dfrac{a-c}{a+c}.\]再根据椭圆的斜率积定义，可得 $I$ 点的轨迹是以 $F_1F_2$ 为长轴，离心率 $e$ 满足\[e^2-1=-\dfrac{a-c}{a+c}\]的椭圆，其标准方程为\[\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1,y\ne 0.\]
答案
解析
备注
