已知 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求证：$5\left[a^2+(b+c)^2\right]>7(ab+bc+ca)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即\[5a^2+5b^2+5c^2-7ab+3bc-7ca>0,\]将左边看成关于 $a$ 的二次多项式，其判别式\[\Delta_a=49(b+c)^2-4\cdot 5\cdot\left(5b^2+5c^2+3bc\right)=-51b^2+38bc-51c^2\leqslant 0,\]因此有\[5a^2+5b^2+5c^2-7ab+3bc-7ca\geqslant 0,\]且等号取得的条件是 $a=b=c=0$，于是原不等式得证．
答案
解析
备注
