如图，四面体 $ABCD$ 中，$O,E$ 分别是 $BD,BC$ 的中点，$AO$ 垂直于平面 $BCD$，且 $CA = CB = CD = 2$，$AB = \sqrt 2 $，求异面直线 $AB$ 与 $ED$ 所成角的大小．
【难度】
【出处】
2008年上海财经大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$\arccos \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$
【解析】
记$$\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow a , \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow b , \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow c ,$$其中 $\overrightarrow a ,\overrightarrow b,\overrightarrow c $ 均为单位向量，则$$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow b + \overrightarrow c , \overrightarrow{CE}=\overrightarrow b , \overrightarrow {AO} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - 2\overrightarrow a ,$$而 $AO$ 垂直于平面 $BCD$，于是$$\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - 2\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b = \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - 2\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow c = 0,$$即$$\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 1 = 0 , \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c + 1 = 0\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$又 $AB = \sqrt 2 $，于是$$\left( {2\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) \cdot \left( {2\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) = 2,$$即$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \dfrac{3}{4}\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$由 $\text{ ① }\text{ ② }$，得$$\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c = \dfrac{1}{2} , \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c = \dfrac{3}{4},$$又$$\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow b - 2\overrightarrow a ,\overrightarrow {ED} = 2\overrightarrow c - \overrightarrow b ,$$于是异面直线 $AB$ 与 $ED$ 所成角 $\theta $ 满足$$\begin{split} \cos \theta =& \dfrac{{\left| {\left( {2\overrightarrow b - 2\overrightarrow a } \right)\cdot\left( {2\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right)} \right|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {\left( {2\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right)\cdot\left( {2\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right)} }} \\=&\dfrac{\left|{4\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c - 2 - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }\right|}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt { {4 - 4\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c + 1} } }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4},\end{split} $$因此，所求角为 $\arccos \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$．
答案
解析
备注
