题目 如图，曲线 $y = \sqrt x $ 上的点 ${P_i}\left( {i = 1, 2, \cdots , n, \cdots } \right)$ 与 $x$ 轴正半轴上的点 ${Q_i}$ 及原点 $O$ 构成一系列正三角形 ${P_i}{Q_{i - 1}}{Q_i}({Q_0} = O)$，记 ${a_n} = \left| {{Q_n}{Q_{n - 1}}} \right|$．<br><img src="/static/images/fcaba2d24a4874e67a784d2e1b1f7864.png" class="img-responsive" /> 问题1 求 ${a_1}$ 的值； 答案1 $\dfrac{2}{3}$ 解析1 第一个正三角形的上顶点为直线 $y = \sqrt 3 x$ 与抛物线 $y = \sqrt x $ 在第一象限的交点，为 $\left( {\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$，所以 ${a_1} = \dfrac{2}{3}$． 备注1 问题2 求数列 $\{ {a_n}\} $ 的通项公式； 答案2 ${a_n} = \dfrac{{2n}}{3}$ 解析2 设第 $n$ 个正三角形的上顶点坐标为 $\left( {y_n^2, {y_n}} \right)$，则<br/>左下顶点的坐标为 $\left( {y_n^2 - \dfrac{{{y_n}}}{{\sqrt 3 }}, 0} \right)$，右下顶点的坐标为 $\left( {y_n^2 + \dfrac{{{y_n}}}{{\sqrt 3 }}, 0} \right)$．<br/>由于第 $n$ 个正三角形的右下顶点与第 $n + 1$ 个正三角形的左下顶点重合，于是$$y_n^2 + \dfrac{{{y_n}}}{{\sqrt 3 }} = y_{n+1}^2 - \dfrac{{{y_{n + 1}}}}{{\sqrt 3 }},$$即$${y_{n + 1}} - {y_n} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$因为第一个正三角形的上顶点为 $\left( {\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$，所以$${y_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$综合 $\text{ ① }\text{ ② }$，有 ${y_n} = \dfrac{n}{{\sqrt 3 }}$．<br/>因此第 $n$ 个正三角形的边长为 ${a_n} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}{y_n} = \dfrac{{2n}}{3}$． 备注2 问题3 求证：当 $n \geqslant 2$ 时，$\dfrac{1}{{a_n^2}} + \dfrac{1}{{a_{n + 1}^2}} + \cdots + \dfrac{1}{{a_{2n}^2}} < \dfrac{3}{2}$． 答案3 略 解析3 问题即证$$\dfrac{9}{4}\left[ {\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{(2n)}^2}}}} \right] < \dfrac{3}{2}.$$当 $n = 2$ 时，不难验证$$\dfrac{9}{4}\left[ {\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}}} \right] < \dfrac{3}{2},$$当 $n \geqslant 3$ 时，\[\begin{split}\qquad\qquad\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{(2n)}^2}}}&< \dfrac{1}{{(n - 1)n}} + \dfrac{1}{{n(n + 1)}} + \cdots + \dfrac{1}{{(2n - 1)(2n)}}\\&= \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{{2n}} \\&< \dfrac{1}{{n - 1}} < \dfrac{2}{3},\end{split}\]所以 $\dfrac{9}{4}\left[ {\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{(2n)}^2}}}} \right] < \dfrac{3}{2}$ 成立． 备注3 每日一题[860]层层展开．