已知实数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 满足 $a_1a_4-a_2a_3=1$，求 $M=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
考虑到\[\left(a_1+a_2{\rm i}\right)\left(a_4+a_3{\rm i}\right)=\left(a_1a_4-a_2a_3\right)+\left(a_1a_3+a_2a_4\right){\rm i},\]于是\[\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(a_3^2+a_4^2\right)=\left(a_1a_4-a_2a_3\right)^2+\left(a_1a_3+a_2a_4\right)^2,\]因此\[\begin{split}
M&=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4\\
&\geqslant 2\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(a_3^2+a_4^2\right)}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right)\\
&=2\sqrt{\left(a_1a_3+a_2a_4\right)^2+1}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right),
\end{split}\]记 $x=a_1a_3+a_2a_4$，则有\[3x^2+2Mx+4-M^2\leqslant 0,\]其判别式\[\Delta=4M^2-4\cdot 3\cdot \left(4-M^2\right)\geqslant 0,\]从而可得 $M\geqslant \sqrt 3$．事实上，考虑到取等条件为\[\begin{cases}a_1^2+a_2^2=a_3^2+a_4^2,\\ a_1a_3+a_2a_4=-\dfrac{1}{\sqrt 3},\\ a_1a_4-a_2a_3=1,\end{cases}\]令 $\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right)=\left(t,-\dfrac{1}{2t},t,\dfrac{1}{2t}\right)$，其中 $t^2=\dfrac{\sqrt 3}6$，则有 $M=\sqrt 3$．因此 $M$ 的最小值为 $\sqrt 3$．
M&=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4\\
&\geqslant 2\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(a_3^2+a_4^2\right)}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right)\\
&=2\sqrt{\left(a_1a_3+a_2a_4\right)^2+1}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right),
\end{split}\]记 $x=a_1a_3+a_2a_4$，则有\[3x^2+2Mx+4-M^2\leqslant 0,\]其判别式\[\Delta=4M^2-4\cdot 3\cdot \left(4-M^2\right)\geqslant 0,\]从而可得 $M\geqslant \sqrt 3$．事实上，考虑到取等条件为\[\begin{cases}a_1^2+a_2^2=a_3^2+a_4^2,\\ a_1a_3+a_2a_4=-\dfrac{1}{\sqrt 3},\\ a_1a_4-a_2a_3=1,\end{cases}\]令 $\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right)=\left(t,-\dfrac{1}{2t},t,\dfrac{1}{2t}\right)$，其中 $t^2=\dfrac{\sqrt 3}6$，则有 $M=\sqrt 3$．因此 $M$ 的最小值为 $\sqrt 3$．
答案
解析
备注
