求下列函数的值域：
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
$y=2\sqrt{x^2+1}-x$；标注答案$\left[\sqrt 3,+\infty\right)$解析根据题意，有\[\begin{cases}(x+y)^2=4\left(x^2+1\right),\\ x+y\geqslant 0,\end{cases}\]即\[\begin{cases}3x^2-2yx+4-y^2=0,\\ x+y\geqslant 0,\end{cases}\]由判别式可得\[\Delta=4y^2-4\cdot 3\cdot\left(4-y^2\right)=16\left(y^2-3\right)\geqslant 0,\]显然有 $y>2|x|-x\geqslant 0$，所以 $y\geqslant \sqrt 3$．而当 $y\geqslant \sqrt 3$ 时，因为方程的两根之和为 $\dfrac 23y>0$，所以必存在正根 $x$ 满足 $x+y\geqslant 0$，于是所求的值域为 $\left[\sqrt 3,+\infty\right)$．
-
$y=\sqrt{4x^2-8x+3}+2x$．标注答案$[1,2)\cup [3,+\infty)$解析根据题意，有\[\begin{cases}(y-2x)^2=4x^2-8x+3,\\ y-2x\geqslant 0,\end{cases}\]即\[\begin{cases}x=\dfrac{y^2-3}{4(y-2)},\\ x\leqslant \dfrac 12y,\end{cases}\]于是\[\dfrac{y^2-3}{4(y-2)}\leqslant\dfrac y2,\]即\[\dfrac{(y-1)(y-3)}{y-2}\geqslant 0,\]于是所求的值域为 $[1,2)\cup [3,+\infty)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
