已知 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left( {0 , + \infty } \right)$ 上的可导函数，满足 $f\left( x \right) > 0$，且 $f\left( x \right) + f'\left( x \right) < 0$．
【难度】
【出处】
2010年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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讨论函数 $F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}f\left( x \right)$ 的单调性；标注答案$F\left( x \right)$ 在 $\left( {0 ,+ \infty } \right)$ 上单调递减解析因为$$F'\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right] < 0,$$所以 $F\left( x \right)$ 在 $\left( {0 ,+ \infty } \right)$ 上单调递减．
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设 $0 < x < 1$，比较 $xf\left( x \right)$ 与 $\dfrac{1}{x}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)$ 的大小．标注答案$xf\left( x \right) > \dfrac{1}{x}f\left( \dfrac 1x \right)$解析因为$$\dfrac{{xf\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{x}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}} = {x^2} \cdot \dfrac{{f\left( x \right)}}{{f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}} = \dfrac{{{x^2} \cdot {{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}}}}{{{{\rm{e}}^x}}} \cdot \dfrac{{{{\rm{e}}^x}f\left( x \right)}}{{{{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}},$$由 $f(x)$ 单调递减及 $x < \dfrac{1}{x}$，得$${{\rm{e}}^x}f\left( x \right) > {{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right).$$当 $0 < x < 1$ 时，因为记 $g\left( x \right) = 2\ln x + \dfrac{1}{x} - x$，则$$g'\left( x \right) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 = \dfrac{{ - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}} < 0,$$所以 $g\left( x \right)$ 是单调递减函数，故当 $0 < x < 1$ 时，$$g\left( x \right) > g\left( 1 \right) = 0,$$即$$2\ln x + \dfrac{1}{x} - x > 0,$$所以$${x^2} \cdot {{\rm{e}}^{\frac{1}{x} - x}} > 1 .$$综上所述，$$\dfrac{{xf\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{x}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}} > 1,$$也即$$xf\left( x \right) > \dfrac{1}{x}f\left( x \right).$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
