题目 如图，已知动直线 $l$ 经过点 $P\left( {4,0} \right)$，交抛物线 ${y^2} = 2ax$（$a > 0$）于 $A,B$ 两点．坐标原点 $O$ 是 $PQ$ 的中点，设直线 $AQ,BQ$ 的斜率分别为 ${k_{AQ}},{k_{BQ}}$．<br><img src="/static/images/0322832da86f7bdf0845266b78501f1e.png" class="img-responsive" /> 问题1 证明：${k_{AQ}} + {k_{BQ}} = 0$； 答案1 略 解析1 已知 $P\left( {4,0} \right)$，$Q\left( { - 4 , 0} \right)$．<br/>设 $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2} ,{y_2}} \right)$，直线 $AB$ 为 $x = my + 4$，则$${k_{AQ}} + {k_{BQ}} = 0,$$即$$ \dfrac{{{y_1}}}{{{x_1} + 4}} + \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2} + 4}} = 0,$$也即$${y_1}\left( {{x_2} + 4} \right) + {y_2}\left( {{x_1} + 4} \right) = 0,$$等价于$$ {y_1}\left( {m{y_2} + 8} \right) + {y_2}\left( {m{y_1} + 8} \right) = 0,$$于是只需证$$ m{y_1}{y_2} + 4\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 0.$$联立直线与抛物线有$${y^2} - 2amy - 8a = 0,$$所以$${y_1}{y_2} = - 8a, {y_1} + {y_2} = 2am.$$因此原命题得证． 备注1 问题2 当 $a = 2$ 时，是否存在垂直于 $x$ 轴的直线 $l'$，被以 $AP$ 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线 $l'$ 的方程；若不存在，请说明理由． 答案2 存在，方程为 $x = 3$ 解析2 假设存在这样的直线 $l'$：$x = t$，则 $AP$ 的中点 $M$ 到 $l'$ 的距离为$$\dfrac{{{x_1} + 4}}{2} - t.$$因为$$\left| {AP} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - 4} \right)}^2} + {y_1}^2} ,$$所以半径为$$\dfrac{1}{2}\left| {AP} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{x_1} - 4} \right)}^2} + 4{x_1}} ,$$所以弦长$$\begin{split}l &= \sqrt {{{\left( {{x_1} - 4} \right)}^2} + 4{x_1} - {{\left( {{x_1} + 4 - 2t} \right)}^2}}\\ &= 2\sqrt {\left( {t - 3} \right){x_1} + 4t - {t^2}}\end{split}$$为定值．<br/>所以当 $t = 3$ 时符合题意，此时直线 $l'$ 的方程为 $x = 3$． 备注2 每日一题[871]圆中的弦．