题目 如图，四面体 $ABCD$ 中，$AB$ 和 $CD$ 为对棱．设 $AB = a$，$CD = b$，且异面直线 $AB$ 与 $CD$ 的距离为 $d$，夹角为 $\theta $．<br><img src="/static/images/bd8a3ea9169b6956f7773b92b6c0745c.png" class="img-responsive" /> 问题1 若 $\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$，且棱 $AB$ 垂直于平面 $BCD$，求四面体 $ABCD$ 的体积； 答案1 $\dfrac{1}{6}abd$ 解析1 如图，<img src="/static/images/c310bff03f0facec9fbf4825d8c1a947.png" class="img-responsive" />在平面 $BCD$ 中，作 $BM \perp CD$ 于 $M$，则 $BM = d$．所以$$\begin{split}{V_{A - BCD}}&= \dfrac{1}{3} \cdot AB \cdot {S_{\triangle BCD}}\\ &= \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot \dfrac{1}{2}b \cdot d\\ &= \dfrac{1}{6}abd.\end{split}$$ 备注1 问题2 当 $\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$ 时，证明：四面体 $ABCD$ 的体积为一定值； 答案2 略 解析2 如图，过 $A$ 作 $AM\perp CD$ 于 $M$，连结 $BM$．<img src="/static/images/5418c8b32250dc926e99a8344ad5889b.png" class="img-responsive" />由 $CD\perp$ 平面 $ABM$，可得平面 $AMB \perp$ 平面 $BCD$，过 $M$ 作 $MN \perp AB$ 于 $N$，则 $MN = d$，因此有$${V_{A - BCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{\triangle AMB}} \cdot CD = \dfrac{1}{6}abd.$$ 备注2 问题3 求四面体 $ABCD$ 的体积． 答案3 $\dfrac{1}{6}abd\sin \theta $ 解析3 如图，将四面体补成平行六面体 $ABGH - ECFD$，则 $AB$ 与 $CD$ 的距离即平行六面体上下底面的距离．<img src="/static/images/09ee4fc6d39f4ace3ced3b250b95992b.png" class="img-responsive" />在底面平行四边形 $ECFD$ 中，$$EC = a,CD = b,\sin \angle DCE = \sin \theta ,$$于是$$\begin{split}{S_{ECFD}} &= 2{S_{\triangle DCE}}\\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sin \theta \cdot ab\\ &= ab\sin \theta ,\end{split}$$所以$${V_{A - BCD}} = \dfrac{1}{6}{V_{ABGH - ECFD}} = \dfrac{1}{6}abd\sin \theta .$$ 备注3 每日一题[880]对边描述的四面体．