题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^{ax}-x$． 问题1 若曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线 $l$ 与直线 $x+2y+3=0$ 垂直，求 $a$ 的值； 答案1 $2$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a{\rm e}^{ax}-1,\]于是\[f'(0)=a-1=2,\]因此 $a=3$． 备注1 问题2 当 $a\ne 1$ 时，求证：存在实数 $x_0$ 使 $f(x_0)<1$． 答案2 略 解析2 <case>情形一</case> $a\leqslant 0$．此时取 $x_0=1$，则有\[f(x_0)={\rm e}^a-1<0<1,\]命题成立；<br/><case>情形二</case> $a>0$ 且 $a\ne 1$．此时命题等价于对于实数 $a>0$ 且 $a\ne 1$，有\[\exists x\in \mathbb R,{\rm e}^x<\dfrac 1ax+1.\]考虑函数 $g(x)=\left(\dfrac 1ax+1\right){\rm e}^{-x}$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac 1a\left(1-a-x\right){\rm e}^{-x},\]因此函数 $g(x)$ 的极大值，亦为最大值为\[g\left(1-a\right)=\dfrac 1a{\rm e}^{a-1}=\dfrac{{\rm e}^a}{{\rm e}a}>1,\]因此命题成立．<br/>综上所述，原命题得证． 备注2 <case>情形二的另一种证明方法</case>当 $a>0$ 时，$f'(x)=a{\rm e}^{ax}-1$ 单调递增，且 $f'(0)=a-1$．<br/>若 $a\in(0,1)$，记 $f'(x)$ 的唯一零点为 $m$，因为 $f'(0)<0=f'(m)\Rightarrow m>0$，在区间 $(0,m)$ 上 $f'(x)<0$，所以 $f(x)$ 单调递减，而 $f(0)=1$，所以 $f(x)<1$；<br/>若 $a\in(1,+\infty)$，则 $f'(0)>0=f'(m)$，所以 $m<0$，从而有区间 $(m,0)$ 上有 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，所以 $f(x)<f(0)=1$．<br/>综上知 $a\ne 1$ 时，均存在实数 $x_0$，使得 $f(x_0)<1$．<br/>每日一题[932]存在性问题的证明．