已知 $ax^2-4\ln (x-1)<1$ 对 $x\in [2,\mathrm e+1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac 14\right)$
【解析】
设 $f(x)=4\ln (x-1)-ax^2+1$，则$$f(2)=-4a+1>0 , f({\rm e}+1)=5-a({\rm e}+1)^2>0,$$于是 $a<\dfrac 14$．
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{4}{x-1}-2ax=\dfrac 2{x-1}\cdot (-ax^2+ax+2).$$令 $g(x)=-ax^2+ax+2$．
情形一 $a< 0$．
由于 $g(2)>0$，对称轴 $x=\dfrac 12$，因此在区间 $[2,\mathrm e+1]$ 上 $g(x)>0$，于是函数 $f(x)$ 单调递增，符合题意．
情形二 $a= 0$．
此时 $g(x)=2$，因此函数 $f(x)$ 单调递增，符合题意．
情形三 $0<a<\dfrac 14$．
此时函数 $f(x)$ 或者单调递增，或者先单调递增，后单调递减，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 14\right)$．
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{4}{x-1}-2ax=\dfrac 2{x-1}\cdot (-ax^2+ax+2).$$令 $g(x)=-ax^2+ax+2$．
由于 $g(2)>0$，对称轴 $x=\dfrac 12$，因此在区间 $[2,\mathrm e+1]$ 上 $g(x)>0$，于是函数 $f(x)$ 单调递增，符合题意．
此时 $g(x)=2$，因此函数 $f(x)$ 单调递增，符合题意．
此时函数 $f(x)$ 或者单调递增，或者先单调递增，后单调递减，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 14\right)$．
答案
解析
备注
