如果正整数 $n$ 可以写成 $a^{b}$（其中 $a,b\in\mathbb N,a\geqslant 2,b\geqslant 2$）的形式，则称 $n$ 为“好数”．在与 $2$ 的正整数次幂相邻的正整数中，试找出所有的“好数”．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$9$
【解析】
设所求的“好数”为 $n$，它可以表示为 $k^{l}$（其中 $k,l\in\mathbb N,k\geqslant 2,l\geqslant 2$）的形式．
由于 $n$ 与 $2$ 的正整数次幂相邻，所以存在正整数 $t$，使得 $2^{t}=k^{l}\pm 1$，显然 $k$ 为奇数．
情形一 若 $l$ 为奇数，则\[2^{l}=(k\pm 1)(k^{l-1}\mp k^{l-2}+k^{l-3}+\cdots \mp k+1),\cdots\cdots\text{ ① }\]从而\[k^{l-1}\mp k^{l-2}+k^{l-3}+\cdots \mp k+1\mid 2^{l}.\]由于 $k,l$ 均为奇数，而奇数个奇数相加或相减的结果一定是奇数，所以\[k^{l-1}\mp k^{l-2}+k^{l-3}+\cdots \mp k+1\]也是奇数，从而只可能\[k^{l-1}\mp k^{l-2}+k^{l-3}+\cdots \mp k+1=1,\]代入 ① 式得\[2^{t}=k^{l}\pm 1=k\pm 1,\]故 $l=1$，这与 $l\geqslant 2$ 矛盾．
情形二 若 $l$ 为偶数，则 $k^{l}\equiv 1(\mod 4)$．
若 $2^{t}=k^{l}+1$，则\[2^{t}=k^{l}+1\equiv 2(\mod 4),\]从而 $t=1$，故$$k^{l}=2^{l}-1=1,$$它不是“好数”．
若\[2^{t}=k^{l}-1=(k^{\frac{l}{2}}+1)(k^{\frac{l}{2}}-1),\]则\[k^{\frac{l}{2}}+1\mid 2^{t},k^{\frac{l}{2}}-1\mid 2^{t}.\]设 $k^{\frac{l}{2}}+1=2^{p},k^{\frac{l}{2}}-1=2^{q}$，其中 $p,q\in\mathbb N^{*}$，$p>q, p+q=t$．
若\[2=2^{p}-2^{q}=2^{q}(2^{p-q}-1),\]又因为 $2^{p-q}-1$ 为奇函数，所以$$2^{q}=2,2^{p-q}-1=1,$$解得 $p=2,q=1$，从而\[k^{l}=2^{t}+1=2^{p+q}+1=2^{3}+1=9.\]综上可知，“好数”只有一个，即 $9$．
由于 $n$ 与 $2$ 的正整数次幂相邻，所以存在正整数 $t$，使得 $2^{t}=k^{l}\pm 1$，显然 $k$ 为奇数．
若 $2^{t}=k^{l}+1$，则\[2^{t}=k^{l}+1\equiv 2(\mod 4),\]从而 $t=1$，故$$k^{l}=2^{l}-1=1,$$它不是“好数”．
若\[2^{t}=k^{l}-1=(k^{\frac{l}{2}}+1)(k^{\frac{l}{2}}-1),\]则\[k^{\frac{l}{2}}+1\mid 2^{t},k^{\frac{l}{2}}-1\mid 2^{t}.\]设 $k^{\frac{l}{2}}+1=2^{p},k^{\frac{l}{2}}-1=2^{q}$，其中 $p,q\in\mathbb N^{*}$，$p>q, p+q=t$．
若\[2=2^{p}-2^{q}=2^{q}(2^{p-q}-1),\]又因为 $2^{p-q}-1$ 为奇函数，所以$$2^{q}=2,2^{p-q}-1=1,$$解得 $p=2,q=1$，从而\[k^{l}=2^{t}+1=2^{p+q}+1=2^{3}+1=9.\]综上可知，“好数”只有一个，即 $9$．
答案
解析
备注
