某年级 $n$ 位同学参加语文和数学两门课的考试，每门课的考分从 $0$ 到 $100$ 分．假如考试的结果，没有两位同学的成绩是完全相同的（即至少有一门课的成绩不同）．另外，我们说“$A$ 比 $B$ 好”是指同学 $A$ 的语文和数学的考分均分别高于同学 $B$ 的语文和数学的考分．试问当 $n$ 最小为何值时，必存在三位同学，设为 $A$，$B$，$C$，有 $A$ 比 $B$ 好，$B$ 比 $C$ 好．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$401$
【解析】
建立平面直角坐标系 $xOy$．
若一位同学的成绩为语文 $i$ 分，数学为 $j$ 分，令其对应平面上的一整点 $(i,j)$，我们称这样的点为成绩点．
$n$ 位同学考试结果反映在平面上是在 $0 \leqslant x \leqslant 100$，$0 \leqslant y \leqslant 100$ 范围内的 $n$ 个成绩点．
考虑平面上 $201$ 条直线：$$y= x\pm b , b=0,1,2,\cdots, 100.$$若一条直线上有三个成绩点，即表示存在三位同学 $A$，$B$，$C$，有 $A$ 比 $B$ 好，$B$ 比 $C$ 好．
显然，直线 $y=x+100$ 和 $y=x-100$ 每条至多只能有一个成绩点；
直线 $y=x+99$ 和 $y=x-99$ 每条至多只能有 $2$ 个成绩点．
因为$$2(201-2)+1\times 2=400,$$所以当 $n>400$ 时，必有一条直线有三个成绩点，从而知 $n$ 的最小值 $n_0 \leqslant 401$．
令集合$$\begin{split}&S=\{(i,j)|i=0,1;j=0,1,\cdots ,100\},\\&T=\{(i,j)| i=0,1,\cdots ,100;j=0,1\},\end{split}$$显然，在 $S \cup T$ 中不存在 $3$ 个成绩点，其对应的三位同学 $A$，$B$，$C$，有 $A$ 比 $B$ 好，$B$ 比 $C$ 好．
又因为$$|S \cup T|=|S|+|T|-|S \cap T|=202+202-4=400,$$所以 $n \leqslant 400$ 时，不可能存在问题所要求的三位同学，即 $n_0 \geqslant 401$，从而知 $n_0 = 401$．
若一位同学的成绩为语文 $i$ 分，数学为 $j$ 分，令其对应平面上的一整点 $(i,j)$，我们称这样的点为成绩点．
$n$ 位同学考试结果反映在平面上是在 $0 \leqslant x \leqslant 100$，$0 \leqslant y \leqslant 100$ 范围内的 $n$ 个成绩点．
考虑平面上 $201$ 条直线：$$y= x\pm b , b=0,1,2,\cdots, 100.$$若一条直线上有三个成绩点，即表示存在三位同学 $A$，$B$，$C$，有 $A$ 比 $B$ 好，$B$ 比 $C$ 好．
显然，直线 $y=x+100$ 和 $y=x-100$ 每条至多只能有一个成绩点；
直线 $y=x+99$ 和 $y=x-99$ 每条至多只能有 $2$ 个成绩点．
因为$$2(201-2)+1\times 2=400,$$所以当 $n>400$ 时，必有一条直线有三个成绩点，从而知 $n$ 的最小值 $n_0 \leqslant 401$．
令集合$$\begin{split}&S=\{(i,j)|i=0,1;j=0,1,\cdots ,100\},\\&T=\{(i,j)| i=0,1,\cdots ,100;j=0,1\},\end{split}$$显然，在 $S \cup T$ 中不存在 $3$ 个成绩点，其对应的三位同学 $A$，$B$，$C$，有 $A$ 比 $B$ 好，$B$ 比 $C$ 好．
又因为$$|S \cup T|=|S|+|T|-|S \cap T|=202+202-4=400,$$所以 $n \leqslant 400$ 时，不可能存在问题所要求的三位同学，即 $n_0 \geqslant 401$，从而知 $n_0 = 401$．
答案
解析
备注
