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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24178 598811fc5ed01a0008fa5f4e 高中 解答题 自招竞赛 （20分）设不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 交于不同的两点 $P,Q$，若直线 $PQ$ 的斜率是直线 $OP$ 和 $OQ$ 斜率的等比中项，求 $\triangle POQ$ 的面积 $S$ 的取值范围． 2022-04-17 20:19:34
24177 598811fc5ed01a0008fa5f4f 高中 解答题 自招竞赛 （20分）如图，$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$C$ 是半圆弧的中点，$P$ 是 $AB$ 延长线上一点，$PD$ 与半圆 $O$ 相切于点 $D$，$\angle APD$ 的平分线分别交 $C,BC$ 于点 $E,F$．求证：线段 $AE,BF,EF$ 可以组成一个直角三角形． 2022-04-17 20:18:34
24176 59881ca35ed01a000ba75bef 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，其离心率为 $\dfrac45$，两准线之间的距离为 $\dfrac{25}{2}$． 2022-04-17 20:17:34
24175 59881f7a5ed01a000ba75c15 高中 解答题 自招竞赛 若实数 $x,y,z$ 满足 $x+3y+2z=6$，解不等式$$x^2+9y^2-2x-6y+4z\leqslant8.$$ 2022-04-17 20:17:34
24174 598960175a1cff0009ea2301 高中 解答题 自招竞赛 $AB$ 是圆 $\Gamma$ 的一条弦，$O$ 为 $AB$ 上的定点，过点 $O$ 任作圆 $\Gamma$ 的两条弦 $CD$ 和 $EF$，弦 $CF$ 交 $OA$ 于 $I$，弦 $DE$ 交 $OB$ 于 $J$．求证：$\dfrac{1}{|OA|}-\dfrac{1}{|OB|}=\dfrac{1}{|OI}-\dfrac{1}{|OJ|}$． 2022-04-17 20:16:34
24173 598979e05a1cff000a345b9a 高中 解答题 自招竞赛 过直线 $l:5x-7y-70=0$ 上的点 $P$ 作椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的切线 $PM,PN$，切点分别为 $M,N$，连接 $MN$． 2022-04-17 20:16:34
24172 59897cd65a1cff000829c945 高中 解答题 自招竞赛 如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，$\triangle A_{i}B_{i}A_{i+1}, i=1,2,\cdots,\cdots$ 为正三角形，且满足 $\overrightarrow{OA_{1}}=\left(-\dfrac{1}{4},0\right)$，$\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}=(2i-1,0)$． 2022-04-17 20:15:34
24171 598a7f3740b385000915c47c 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0,\sqrt 3)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，直线 $l$ 经过椭圆右焦点 $F$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，点 $A,F,B$ 在直线 $x=4$ 的射影依次为 $D,K,E$． 2022-04-17 20:15:34
24170 598a7f3740b385000915c47e 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac{1}{2}mx^{2}-x,m\in\mathbb R$． 2022-04-17 20:15:34
24169 598aa27340b385000cb72e47 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$．求 $\sin C$ 的最大值． 2022-04-17 20:14:34
24168 598ab33d7295a3000ab7ac12 高中 解答题 自招竞赛 如图，$AP,AQ$ 为 $\odot O$ 的切线，$P,Q$ 是切点，$M$ 为线段 $PQ$ 的中点，$AKL$ 为一条割线，直线 $l \parallel AQ, l$ 与 $QK,QP,QL$ 分别交于 $X,Y,Z$ 三点． 2022-04-17 20:14:34
24167 598ab42991e035000a72f3ca 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1\in (1,2)$，$a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$，$n \in \mathbb N^*$，求证：$$(a_1-a_2)(a_3-1)+(a_2-a_3)(a_4-1)+\cdots +(a_n-a_{n+1})(a_{n+2}-1)<\dfrac 14.$$ 2022-04-17 20:13:34
24166 598abce191e0350007fda02c 高中 解答题 自招竞赛 过抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 外一点 $P$ 向抛物线作两条切线，切点为 $M,N$，$F$ 为抛物线的焦点． 2022-04-17 20:13:34
24165 598abdc391e035000a72f3df 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知点 $O$ 为凸四边形 $ABCD$ 内的一点，$AO=OB$，$CO=OD$，$\angle AOB=\angle COD=120^\circ$，点 $E,F,G$ 分别是线段 $AB,BC,CD$ 的中点．求证：$\triangle EFG$ 为正三角形． 2022-04-17 20:12:34
24164 598ac90491e0350007fda066 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a$ 为实数，函数 $f(x)=\left|x^2-ax\right|-\ln x$，请讨论函数 $f(x)$ 的单调性． 2022-04-17 20:12:34
24163 598bf491de229f0008daf58a 高中 解答题 自招竞赛 已知四棱锥 $P-ABCD$，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的菱形，$\angle ABC=60^{\circ}$，$E$ 为 $AB$ 的中点，$PA\perp \text{平面}ABCD$，$PC$ 与平面 $PAD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt 6}{4}$． 2022-04-17 20:11:34
24162 598bf491de229f0008daf58b 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 中，$\sin \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{\sqrt 3}{3}$，$AB=2$，$D$ 点在线段 $AC$ 上，且 $AD=2DC$，$BD=\dfrac{4\sqrt 3}{3}$． 2022-04-17 20:11:34
24161 598bf491de229f0008daf58c 高中 解答题 自招竞赛 如图，曲线 $C_{1}$ 是以原点 $O$ 为中心，$F_{1},F_{2}$ 为焦点的椭圆的一部分，曲线 $C_{2}$ 是以 $O$ 为顶点，$F_{2}(1,0)$ 为焦点的抛物线的一部分，$A\left(\dfrac{3}{2},\sqrt 6\right)$ 是曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点． 2022-04-17 20:10:34
24160 598bfb44de229f000b9a0ebb 高中 解答题 自招竞赛 如图，给定凸四边形 $ABCD$，$\angle B+\angle D<180^\circ$，$P$ 是平面上的动点，令 $f(P)=PA\cdot PB+PD\cdot CA+PC\cdot AB$． 2022-04-17 20:10:34
24159 598bfb6ade229f000b9a0ed6 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，$M$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=3$ 上任一点，$MA,MB$ 分别于椭圆 $C$ 切于点 $A,B$．求 $\triangle OAB$ 面积的取值范围（$O$ 为坐标原点）． 2022-04-17 20:10:34
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