无

略

首先证明一个不等式：$$\dfrac x{1+x}<\ln(1+x)<x,x>0.\cdots \text{ ① }$$事实上，令\[\begin{split}&h(x)=x-\ln(1+x),\\ &g(x)=\ln(1+x)-\dfrac x{1+x},\end{split}\]则对 $x>0$，\[\begin{split}&h'(x)=1-\dfrac 1{1+x}>0,\\&g'(x)=\dfrac 1{1+x}-\dfrac 1{(1+x)^2}=\dfrac x{(1+x)^2}>0,\end{split}\]于是$$h(x)>h(0)=0, g(x)>g(0)=0.$$在 ① 中取 $x=\dfrac 1n$ 得$$\dfrac 1{n+1}<\ln\left(1+\dfrac 1n\right)<\dfrac 1n.\cdots \text{ ② }$$令 $\displaystyle x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac k{k^2+1}-\ln n$，则 $x_1=\dfrac 12$，且\[\begin{split}x_n-x_{n-1}&=\dfrac{n}{n^2+1}-\ln\left(1+\dfrac 1{n-1}\right)\\&<\dfrac n{n^2+1}-\dfrac 1n\\&=-\dfrac 1{(n^2+1)n}\\&<0,\end{split}\]因此$$x_n<x_{n-1}<\cdots <x_1=\dfrac 12.$$又因为\[\begin{split}\ln n&=(\ln n-\ln(n-1))+(\ln(n-1)-\ln(n-2))+\cdots +(\ln 2 -\ln 1)+\ln 1\\&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\dfrac 1k\right),\end{split}\]从而\[\begin{split}x_n&=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{k^2+1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\dfrac 1k\right)\\&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac k{k^2+1}-\ln\left(1+\dfrac 1k\right)\right)+\dfrac n{n^2+1}\\&>\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac k{k^2+1}-\dfrac 1k\right)\\&=-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac 1{(k^2+1)k}\\&\geqslant -\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac 1{(k+1)k}\\&=-1+\dfrac 1n \\&>-1,\end{split}\]得证．