函数 $f(x)$ 对于任意实数 $x$，$y$，都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)-3$，且当 $x>0$ 时，$f(x)<3$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
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$f(x)$ 在实数集 $\mathbb R$ 上是否为单调函数？并说明理由；标注答案$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为单调减函数解析对任意的 $x_1 ,x_2 \in \mathbb R$，且 $x_1<x_2$，则$$f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+(x_2-x_1))-f(x_1)=f(x_2-x_1)-3.$$因为 $x_2-x_1>0$，所以 $f(x_2-x_1)<3$，于是 $f(x_2)<f(x_1)$，从而知 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为单调减函数．
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已知 $f(6)=-9$，求 $f\left(\left(\dfrac 12\right)^{2010}\right)$．标注答案$3-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2009}$解析因为\[\begin{split}f(6)&=f(2)+f(4)-3\\ &=f(2)+[f(2)+f(2)-3]-3 \\&=3f(2)-6,\end{split}\]所以由已知 $f(6)=-9$，解得 $f(2)=-1$．
又$$f(2)=f(1)+f(1)-3,$$解得 $f(1)=1$．
对任意的 $a \in \mathbb R$，显然有 $f(a)=2f\left(\dfrac a2\right)-3$，即$$f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac {f(a)+3}{2}.$$令 $a_1=1$，则\[\begin{split}a_{n+1}&=f\left(\left(\dfrac 12\right)^n\right) \\ &= \dfrac {f\left(\left(\dfrac 12\right)^{n-1}\right)+3}{2}\\&=\dfrac {a_n+3}{2}, \end{split}\]即数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac {a_n+3}{2}$，且 $a_1=f(1)=1$，$a_2=2$．
令 $b_n=a_{n+1}-a_n$，则有$$b_n=\dfrac 12b_{n-1} , b_1=a_2-a_1=1,$$于是 $b_n=\left(\dfrac 12\right)^{n-1}$，亦即$$a_{n+1}-a_n=\left(\dfrac 12\right)^{n-1},$$所以有\[\begin{split}a_{n+1}&=a_n+\left(\dfrac 12\right)^{n-1}\\ &=a_{n-1}+\left(\dfrac 12\right)^{n-2}+\left(\dfrac 12\right)^{n-1}\\&\cdots \cdots \\&=a_1+1+\dfrac 12+\cdots+\left(\dfrac 12\right)^{n-1}\\&=1+2\left[1-\left(\dfrac 12\right)^{n}\right]\\&=3-\left(\dfrac 12\right)^{n-1},\end{split}\]故$$f\left(\left(\dfrac 12\right)^{2010}\right)=a_{2011}=3-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2009}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
