是否存在一个二次函数 $f(x)$，使得对任意的正整数 $k$，当 $x=\underbrace{55\cdots 5}_{k\text{个}5}$ 时，都有 $f(x)=\underbrace{55\cdots 5}_{2k\text{个}5}$ 成立？请给出结论，并加以证明．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
存在，证明略
【解析】
设 $f(x)=ax^{2}+bx+c$，则当 $k=1,2,3$ 时有\[\begin{split}f(5)=25a+5b+c=55,&\cdots\cdots\text{ ① }\\ f(55)=3025a+55b+c=5555,&\cdots\cdots\text{ ② }\\ f(555)=308025a+555b+c=555555,&\cdots\cdots\text{ ③ }\end{split}\]联立 ①，②，③，解得$$a=\dfrac{9}{5} , b=2 , c=0,$$于是 $f(x)=\dfrac{9}{5}x^{2}+2x$．
下面证明：二次函数 $f(x)=\dfrac{9}{5}x^{2}+2x$ 符合条件．
因为\[\underbrace{55\cdots 5}_{k\text{个}5}=5(1+10+100+\cdots+10^{k-1})=\dfrac{5}{9}(10^{k}-1),\]所以\[\begin{split}f(\underbrace{55\cdots 5}_{k\text{个}5})&=f\left(\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\right)\\&=\dfrac{9}{5}\left[\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\right]^{2}+2\cdot \dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\\&=\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)^{2}+2\cdot \dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\\&=\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)(10^{k}+1)\\&=\dfrac{5}{9}(10^{2k}-1)=\underbrace{55\cdots 5}_{2k\text{个}5}.\end{split}\]因此，存在二次函数 $f(x)=\dfrac{9}{5}x^{2}+2x$ 符合条件．
下面证明：二次函数 $f(x)=\dfrac{9}{5}x^{2}+2x$ 符合条件．
因为\[\underbrace{55\cdots 5}_{k\text{个}5}=5(1+10+100+\cdots+10^{k-1})=\dfrac{5}{9}(10^{k}-1),\]所以\[\begin{split}f(\underbrace{55\cdots 5}_{k\text{个}5})&=f\left(\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\right)\\&=\dfrac{9}{5}\left[\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\right]^{2}+2\cdot \dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\\&=\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)^{2}+2\cdot \dfrac{5}{9}(10^{k}-1)\\&=\dfrac{5}{9}(10^{k}-1)(10^{k}+1)\\&=\dfrac{5}{9}(10^{2k}-1)=\underbrace{55\cdots 5}_{2k\text{个}5}.\end{split}\]因此，存在二次函数 $f(x)=\dfrac{9}{5}x^{2}+2x$ 符合条件．
答案
解析
备注
