在非负数构成的 $3\times 9$ 数表$$P=\begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}&x_{13}&x_{14}&x_{15}&x_{16}&x_{17}&x_{18}&x_{19}\\ x_{21}& x_{22}&x_{23}&x_{24}&x_{25}&x_{26}&x_{27}&x_{28}&x_{29}\\x_{31}& x_{32}&x_{33}&x_{34}&x_{35}&x_{36}&x_{37}&x_{38}&x_{39}\end{bmatrix}$$中每行的数互不相同，前 $6$ 列中每列的三数之和为 $1$，$x_{17}=x_{28}=x_{39}=0$，$x_{27},x_{37},x_{18},x_{38},x_{19},x_{29}$ 均大于 $1$．如果 $P$ 的前三列构成的数表$$S=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\ x_{21}&x_{22}&x_{23}\\ x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{bmatrix}$$满足下面的性质（$O$）：对于数表 $P$ 中的任意一列 $\begin{bmatrix}x_{1k}\\ x_{2k}\\x_{3k}\end{bmatrix}$（$k=1,2,\cdots ,9$）均存在某个 $i\in\{1,2,3\}$ 使得$$x_{ik}\leqslant u_i=\min\{x_{i1},x_{i2},x_{i3}\}.\cdots \text{ ① }$$求证：
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
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最小值 $u_i=\min\{x_{i1},x_{i2},x_{i3}\}$，$i=1,2,3$ 一定取自数表 $S$ 的不同列．标注答案略解析假设最小值 $u_i=\min\{x_{i1},x_{i2},x_{i3}\}$，$i=1,2,3$ 不是取自数表 $S$ 的不同列，则存在一列不含任何 $u_i$．不妨设 $u_i\ne x_{i2}$，$i=1,2,3$．
由于数表 $P$ 中同一行中的任何两个元素都不等，于是$$u_i<x_{i2} , i=1,2,3.$$另一方面，由于数表 $S$ 具有性质 $(O)$，在 ① 中取 $k=2$，则存在某个 $i_0\in \{1,2,3\}$ 使得 $x_{i_02}\leqslant u_{i_0}$，矛盾． -
存在数表 $P$ 中唯一的一列 $\begin{bmatrix}x_{1k^*}\\ x_{2k^*}\\x_{3k^*}\end{bmatrix}$，$k^*\ne 1,2,3$ 使得 $3\times 3$ 数表$$S'=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{1k^*}\\ x_{21}&x_{22}&x_{2k^*}\\ x_{31}&x_{32}&x_{3k^*}\end{bmatrix}$$仍然具有性质（$O$）．标注答案略解析由抽屉原理知$$\min\{x_{11},x_{12}\},\min\{x_{21},x_{22}\},\min\{x_{31},x_{32}\}$$中至少有两个值取在同一列．
不妨设$$\min\{x_{21},x_{22}\}=x_{22}, \min\{x_{31},x_{32}\}=x_{32}.$$由前面的结论知数表 $S$ 的第一列一定含有某个 $u_i$，所以只能是 $x_{11}=u_1$．
同样，第二列中也必含有某个 $u_i$ $i=1,2$．
不妨设 $x_{22}=u_2$，于是 $u_3=x_{33}$，即 $u_i$ 是数表 $S$ 中的对角线上数字：\[\begin{bmatrix}{\bf x_{11}}&x_{12}&x_{13}\\ x_{21}&{\bf x_{22}}&x_{23}\\ x_{31}&x_{32}&{\bf x_{33}}\end{bmatrix}\]记 $M=\{1,2,\cdots ,9\}$，令集合$$I=\{k\in M | x_{ik}>\min\{x_{i1},x_{i2}\},i=1,3\},$$显然$$I=\{k\in M | x_{1k}>x_{11},x_{3k}>x_{32}\}\land 1,2,3\notin I.$$因为 $x_{18},x_{38}>1\geqslant x_{11},x_{32}$，所以 $8\in I$，故 $I\ne \varnothing$，于是存在 $k^*\in I$ 使得$$x_{2k^*}=\max\{x_{2k}\mid k \in I\},$$显然 $k^*\ne 1,2,3$．
下面证明 $3\times 3$ 数表 $S'$ 具有性质 $(O)$．
从上面的选法可知$$u_i'=\min\{x_{i1},x_{i2},x_{ik^*}\}=\min\{x_{i1},x_{i2}\},(i=1,3),$$这说明$$x_{1k^*}>\min\{x_{11},x_{12}\}\geqslant u_1 ,x_{3k^*}>\min \{x_{31},x_{32}\}\geqslant u_3.$$又由 $S$ 满足性质 $(O)$，在 ① 中取 $k=k^*$，推得 $x_{2k^*}\leqslant u_2$，于是$$u_2'=\min\{x_{21},x_{22},x_{2k^*}\}=x_{2k^*}.$$下证对任意的 $k\in M$，存在某个 $i=1,2,3$ 使得 $u_i'\geqslant x_{ik}$．
假若不然，则 $x_{ik}>\min\{x_{i1},x_{i2}\}$，$i=1,3$ 且 $x_{2k}>x_{2k^*}$，这与 $x_{2k^*}$ 的最大性矛盾，因此，数表 $S'$ 满足性质 $(O)$．
下证唯一性，设有 $k\in M$ 使得数表\[\hat S=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{1k}\\ x_{21}&x_{22}&x_{2k}\\ x_{31}&x_{32}&x_{3k}\end{bmatrix}\]具有性质 $(O)$．
不失一般性，我们假定\[\begin{split}&u_1=\min\{x_{11},x_{12},x_{13}\}=x_{11},\\&u_2=\min\{x_{21},x_{22},x_{23}\}=x_{22},\\&u_3=\min\{x_{31},x_{32},x_{33}\}=x_{33},\\& x_{32}<x_{31}.\end{split}\cdots \text{ ② }\]由于 $x_{32}<x_{31}$，$x_{22}<x_{21}$ 及 $(1)$，有$$\hat{u}_1=\min\{x_{11},x_{12},x_{1k}\}=x_{11}.$$又由 $(1)$ 知，$(a),(b)$ 中必有一个成立：
$(a)\hat{u}_3=\min\{x_{31},x_{32},x_{3k}\}=x_{3k}$，
$(b)\hat{u}_2=\min\{x_{21},x_{22},x_{2k}\}=x_{2k}$．
如果 $(a)$ 成立，由数表 $\hat S$ 具有性质 $(O)$，则\[\begin{split}&\hat{u}_1=\min\{x_{11},x_{12},x_{1k}\}=x_{11},\\&\hat{u}_2=\min\{x_{21},x_{22},x_{2k}\}=x_{22},\\&\hat{u}_3=\min\{x_{31},x_{32},x_{3k}\}=x_{3k},.\end{split}\cdots \text{ ③ }\]由数表 $\hat S$ 满足性质 $(O)$，则对于 $3\in M$ 至少存在一个 $i\in \{1,2,3\}$ 使得 $\hat{u}_i\geqslant x+{i3}$．又由 ②，③ 式知，$$\hat{u}_1=x_{11}<x_{13},\hat{u}_2=x_{22}<x_{23},$$所以只能有$$\hat{u}_3=x_{3k}\geqslant x_{33}.$$同样由数表 $S$ 满足性质 $(O)$，可推得 $x_{33}\geqslant x_{3k}$，于是 $k=3$，即数表 $S=\hat S$．
如果 $(b)$ 成立，则\[\begin{split}&\hat{u}_1=\min\{x_{11},x_{12},x_{1k}\}=x_{11},\\&\hat{u}_2=\min\{x_{21},x_{22},x_{2k}\}=x_{2k},\\&\hat{u}_3=\min\{x_{31},x_{32},x_{3k}\}=x_{32}.\end{split}\cdots \text{ ④ }\]由数表 $\hat S$ 满足性质 $(O)$，对于 $k^*\in M$，存在某个 $i=1,2,3$ 使得 $\hat{u}_i\geqslant x_{ik^*}$．
由 $k^*\in I$ 及 ② 和 ④ 式知，$$x_{1k^*}>x_{11}=\hat{u}_1, x_{3k^*}>x_{32}=\hat{u}_3,$$于是只能有$$x_{2k^*}\leqslant \hat{u}_2=x_{2k}.$$类似地，由 $S'$ 满足性质 $(O)$ 及 $k\in M$ 可推得 $x_{2k}\leqslant u_2'=x_{2k^*}$，从而 $k^*=k$，唯一性得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
