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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25098 598bfb44de229f000b9a0ebc 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)$ 是周期函数，$T$ 和 $1$ 是 $f(x)$ 的周期且 $0<T<1$．证明： 2022-04-17 20:45:42
25097 598bfb6ade229f000b9a0ed4 高中 解答题 自招竞赛 在正项数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}=4$，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2S_{n}=S_{n+1}+n$．令 $b_{n}=\dfrac{2^{n-1}+1}{(3n-2)a_{n}}$．证明：对于任意 $n\in\mathbb N^{*}$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}<\dfrac{5}{12}$． 2022-04-17 20:44:42
25096 598bfb6ade229f000b9a0ed5 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $x,y$ 满足 $2^{x+1}+2^{y+1}=4^{x}+4^{y}$．求 $M=8^{x}+8^{y}$ 的取值范围． 2022-04-17 20:44:42
25095 59916399394921000859727c 高中 解答题 高中习题 已知正整数数列 $\{a_{n}\}$，满足：$a_{1} = 2$，$a_{n+1}= a_{n}^2 - a_{n} +1$，证明：数列的任何两项皆互质． 2022-04-17 20:43:42
25094 59916399394921000859727d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $H$ 为锐角三角形 $ABC$ 的垂心，在线段 $CH$ 上任取一点 $E$，延长 $CH$ 到 $F$，使 $HF = CE$，作 $FD \perp BC$，$EG \perp BH$，其中 $D$、$G$ 为垂足，$M$ 是线段 $CF$ 的中点，$O_{1}$、$O_{2}$ 分别为 $\triangle ABG$、$\triangle BCH$ 的外接圆圆心，$\odot O_{1}$、$\odot O_{2}$ 的另一交点为 $N$．证明： 2022-04-17 20:43:42
25093 59916399394921000859727e 高中 解答题 高中习题 对于任意给定的无理数 $a$、$ b$ 及实数 $r > 0$，证明：圆周 $(x-a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ 上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）． 2022-04-17 20:43:42
25092 599165b42bfec200011ddca3 高中 解答题 高中习题 在数 $1$ 和 $100$ 之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 ${T_n}$，再令 ${a_n} = \lg {T_n}$，$n \geqslant 1$． 2022-04-17 20:42:42
25091 599165b42bfec200011ddca4 高中 解答题 高考真题 设 $x \geqslant 1,y \geqslant 1$，证明 $x + y + \dfrac{1}{xy} \leqslant \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + xy$； 2022-04-17 20:41:42
25090 599165b42bfec200011ddca5 高中 解答题 高考真题 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 $ 10 $ 分钟，如果前一个人 $ 10 $ 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 ${p_1},{p_2},{p_3}$，假设 ${p_1},{p_2},{p_3}$ 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立． 2022-04-17 20:41:42
25089 599165b52bfec200011ddce7 高中 解答题 高中习题 如图，已知曲线 ${C_1}:\dfrac{x^2}{2} - {y^2} = 1$，曲线 ${C_2}:\left| y \right| = \left| x \right| + 1$，$P$ 是平面内一点，若存在过点 $P$ 的直线与 ${C_1},{C_2}$ 都有公共点，则称 $P$ 为" ${C_1} - {C_2}$ 型点"． 2022-04-17 20:40:42
25088 599165b52bfec200011ddd68 高中 解答题 高考真题 已知 $a$，$b$，$c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三个内角 $A$，$B$，$C$ 的对边，$c = \sqrt 3 a\sin C - c\cos A$． 2022-04-17 20:39:42
25087 599165b52bfec200011ddd6c 高中 解答题 高考真题 设函数 $f\left( x \right) ={\mathrm{e}}^x - ax - 2$． 2022-04-17 20:39:42
25086 599165b52bfec200011ddd6e 高中 解答题 高考真题 已知曲线 ${C_1}$ 的参数方程是 ${\begin{cases}
x = 2\cos \varphi ,\\
y = 3\sin \varphi, \\
\end{cases}}\left( \varphi 是参数\right)$ 以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ${C_2}$ 的极坐标方程是 $\rho = 2$，正方形 $ABCD$ 的顶点都在 ${C_2}$ 上，且 $A,B,C,D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $\left( {2,\dfrac{\mathrm \pi }{3}} \right)$．		 2022-04-17 20:39:42
25085 599165b52bfec200011dddb1 高中 解答题 高考真题 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$，系统 $A$ 和 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\dfrac{1}{10}$ 和 $p$． 2022-04-17 20:39:42
25084 599165b52bfec200011dddb4 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${a_2}{a_n} = {S_2} + {S_n}$ 对一切正整数 $n$ 都成立． 2022-04-17 20:38:42
25083 599165b52bfec200011dddb5 高中 解答题 高中习题 如图，动点 $M$ 与两定点 $A\left( - 1,0\right),B\left(2,0\right)$ 构成 $\triangle MAB$，且 $\angle MBA = 2\angle MAB$，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$． 2022-04-17 20:37:42
25082 599165b52bfec200011dddf6 高中 解答题 高考真题 函数 $f\left(x\right) = A\sin \left( {\omega x - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) + 1\left(A > 0 , \omega > 0\right) $ 的最大值为 $ 3 $，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\dfrac{\mathrm \pi} {2}$． 2022-04-17 20:36:42
25081 599165b52bfec200011dde3a 高中 解答题 高考真题 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin B\left(\tan A + \tan C\right) = \tan A\tan C$． 2022-04-17 20:36:42
25080 599165b52bfec200011dde3b 高中 解答题 高考真题 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 $ 1,2,3 $；蓝色卡片两张，标号分别为 $ 1,2 $． 2022-04-17 20:35:42
25079 599165b52bfec200011dde3f 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right) = \dfrac{\ln x + k}{{\mathrm{e}} ^x}$（$k$ 为常数，${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1 , f\left(1\right)\right)$ 处的切线与 $x$ 轴平行． 2022-04-17 20:35:42
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