题目 已知函数 $f\left(x\right) = \dfrac{\ln x + k}{{\mathrm{e}} ^x}$（$k$ 为常数，${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1 , f\left(1\right)\right)$ 处的切线与 $x$ 轴平行． 问题1 求 $k$ 的值； 答案1 解析1 \[f'\left(x\right) = \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \ln x - k}}{{{{\mathrm{e}} ^x}}},\]由已知可得出\[f'\left(1\right) = \dfrac{1 - k}{{\mathrm{e }}} = 0,\]故 $k = 1$． 备注1 问题2 求 $f\left(x\right)$ 的单调区间； 答案2 解析2 由（1）知，\[f'\left(x\right) = \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \ln x - 1}}{{{{\mathrm{e}} ^x}}}.\]设 $k\left(x\right) = \dfrac{1}{x} - \ln x - 1$，则\[k'\left(x\right) = - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} < 0,\]即 $k\left(x\right)$ 在 $\left(0, + \infty \right)$ 上是减函数，由 $k\left(1\right) = 0$ 知，<br/>当 $0 < x < 1$ 时 $k\left(x\right) > 0$，从而 $f'\left(x\right) > 0$，<br/>当 $x > 1$ 时 $k\left(x\right) < 0$，从而 $f'\left(x\right) < 0$．<br/>综上可知，$f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left(0,1\right)$，单调递减区间是 $\left(1, + \infty \right)$． 备注2 问题3 设 $g\left(x\right) = xf'\left(x\right)$，其中 $f'\left(x\right)$ 为 $f\left(x\right)$ 的导函数．证明：对任意 $x > 0$，$ g\left(x\right) < 1 + {\mathrm{e}} ^{ - 2}$． 答案3 解析3 由（2）可知，当 $x \geqslant 1$ 时，\[g\left(x\right) = xf'\left(x\right) \leqslant 0 < 1 + {{\mathrm e }^{ - 2}},\]故只需证明 $g\left(x\right) < 1 + {\mathrm{e}} ^{ - 2}$ 在 $0 < x < 1$ 时成立．<br/>当 $0 < x < 1$ 时，${{\mathrm{e}} ^x} > 1$，且 $g\left(x\right) > 0$，所以\[\begin{split}g\left(x\right) & = \dfrac{1 - x\ln x - x}{{{{\mathrm{e}} ^x}}} \\& < 1 - x\ln x - x.\end{split}\]设 $F\left(x\right) = 1 - x\ln x - x$，$x \in \left(0,1\right)$，则\[F'\left(x\right) = - \left(\ln x + 2\right),\]当 $x \in \left(0,{{\mathrm{e}} ^{ - 2}}\right)$ 时，$F'\left(x\right) > 0$，当 $x \in \left({{\mathrm{e}} ^{ - 2}},1\right)$ 时，$F'\left(x\right) < 0$，<br/>所以当 $x = {{\mathrm{e}} ^{ - 2}}$ 时，$F\left(x\right)$ 取得最大值 $F\left({{\mathrm{e}}^{ - 2}}\right) = 1 + {{\mathrm{e}} ^{ - 2}}$，所以\[g\left(x\right) < F\left(x\right) \leqslant 1 + {{\mathrm{e}} ^{ - 2}}.\]综上，对任意 $x > 0$，$g\left(x\right) < 1 + {{\mathrm{e}} ^{ - 2}}$． 备注3