某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$，系统 $A$ 和 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\dfrac{1}{10}$ 和 $p$．
【难度】
【出处】
2012年高考四川卷（理）
【标注】
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若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\dfrac{49}{50}$，求 $p$ 的值；标注答案解析设"至少有一个系统不发生故障"为事件 $C$，那么\[1 - P\left( \overline C\right) = 1 - \dfrac{1}{10} \cdot p=\dfrac{49}{50}.\]解得\[p =\dfrac{1}{5}.\]
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设系统 $A$ 在 $ 3 $ 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 $\xi $，求 $\xi $ 的概率分布列及数学期望 $E\xi $．标注答案解析由题意，$\xi $ 的可能取值为 $ 0,1,2,3$．\[\begin{split}P\left( {\xi = 0} \right) &= {\mathrm{C}}_3^0{\left( {\dfrac{1}{10}} \right)^3} = \dfrac{1}{1000},\\ P\left( {\xi = 1} \right) &= {\mathrm{C}}_3^1{\left( {\dfrac{1}{10}} \right)^2} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{10}} \right) = \dfrac{27}{1000}, \\ P\left( {\xi = 2} \right) &= {\mathrm{C}}_3^2\dfrac{1}{10} \cdot {\left( {1 - \dfrac{1}{10}} \right)^2} = \dfrac{243}{1000}, \\ P\left( {\xi = 3} \right) &= {\mathrm{C}}_3^3{\left( {1 - \dfrac{1}{10}} \right)^3} = \dfrac{729}{1000}.\end{split}\]所以，随机变量 $\xi $ 的概率分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
\xi&0&1&2&3 \\ \hline
P& \dfrac1{1000}&\dfrac{27}{1000}&\dfrac{243}{1000}&\dfrac{729}{1000} \\ \hline
\end{array}\]故随机变量 $\xi $ 的数学期望：\[\begin{split}E\xi &= 0 \times \dfrac{1}{1000} + 1 \times \dfrac{27}{1000} + 2 \times \dfrac{243}{1000} + 3 \times \dfrac{729}{1000} \\& = \dfrac{27}{10}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
