已知 $H$ 为锐角三角形 $ABC$ 的垂心，在线段 $CH$ 上任取一点 $E$，延长 $CH$ 到 $F$，使 $HF = CE$，作 $FD \perp BC$，$EG \perp BH$，其中 $D$、$G$ 为垂足，$M$ 是线段 $CF$ 的中点，$O_{1}$、$O_{2}$ 分别为 $\triangle ABG$、$\triangle BCH$ 的外接圆圆心，$\odot O_{1}$、$\odot O_{2}$ 的另一交点为 $N$．证明：
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
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$A$、$B$、$D$、$G$ 四点共圆；标注答案略解析如图，设 $EG \cap DF = K$，连结 $AH$，则由 $AC \perp BH$，$EK \perp BH$，$AH \perp BC$，$KF \perp BC$，得 $CA \parallel EK$，$AH \parallel KF$，且 $CH = EF$，所以 $\triangle CAH \cong \triangle EKF$，从而 $AH$ 与 $KF$ 平行且相等，故 $AK \parallel HF$，所以 $\angle KAB = 90^\circ =\angle KDB =\angle KGB$，因此 $A$、$B$、$D$、$G$ 四点共圆．
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$O_{1}$、$O_{2}$、$M$、$N$ 四点共圆．标注答案略解析由 $(1)$ 得 $BK$ 为 $\odot O_{1}$ 的直径，作 $\odot O_{2}$ 的直径 $BP$，连结 $CP$、$KP$、$HP$、$O_{1}O_{2}$，则 $\angle BCP = \angle BHP = 90^\circ $，所以 $CP \parallel AH $，$HP \parallel AC$，故 $AHPC$ 为平行四边形，进而得，$PC$ 与 $KF$ 平行且相等，因此对角线 $KP$ 与 $CF$ 互相平分于 $M$，从而 $O_{1}$、$O_{2}$、$M$、是 $\triangle KBP$ 三边的中点，$KM \parallel O_{1}O_{2}$．而由 $\angle KNB =90^\circ $，$O_{1}O_{2} \perp BN$，得 $KN \parallel O_{1}O_{2}$，所以 $M$、$N$、$K$ 共线，因此 $MN \parallel O_{1}O_{2}$．又由 $\triangle KBP$ 的中位线知 $MO_{2} =O_{1} B =O_{1}N$，因此四边形 $O_{1}O_{2}MN$ 是等腰梯形，其顶点共圆，即 $O_{1}$、$O_{2}$、$M$、$N$ 四点共圆．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
