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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25138 59842b9e5ed01a000ba75a93 初中 解答题 其他 课程学习：正方形折纸中的数学．
动手操作：如图1，四边形 $ABCD$ 是一张正方形纸片，先将正方形 $ABCD$ 对折，使 $BC$ 与 $AD$ 重合，折痕为 $EF$，把这个正方形展平，然后沿直线 $CG$ 折叠，使 $B$ 点落在 $EF$ 上，对应点为 $B'$．		 2022-04-17 20:06:43
25137 598828435ed01a000ad7995f 高中 解答题 高中习题 （10分）已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2x-\cos^{2}x-\dfrac{1}{2},x\in\mathbb R$． 2022-04-17 20:06:43
25136 598828435ed01a000ad79960 高中 解答题 高中习题 （12分）如图，在正 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别在边 $AC$、$AB$ 上，且 $AD=\dfrac{1}{3}AC$，$AE=\dfrac{2}{3}AB$，$BD$、$CE$ 相交于点 $F$． 2022-04-17 20:05:43
25135 598828435ed01a000ad79961 高中 解答题 高中习题 （12分）一个口袋中有 $2$ 个白球和 $n$ 个红球（$n\geqslant 2$，且 $n\in\mathbb N^{*}$），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖． 2022-04-17 20:05:43
25134 598828435ed01a000ad79962 高中 解答题 高中习题 （12分）数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，满足：$a_{1}=1$，$3tS_{n}-(2t+3)S_{n-1}=3t$，其中 $t>0,n\in\mathbb N^{*}$ 且 $n\geqslant 2$． 2022-04-17 20:04:43
25133 598828435ed01a000ad79963 高中 解答题 高中习题 （12分）已知 $F_{1}(-1,0)$、$F_{2}(1,0)$，圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$，一动圆在 $y$ 轴右侧与 $y$ 轴相切，同时与圆 $F_{2}$ 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线 $C$，曲线 $E$ 是以 $F_{1}$、$F_{2}$ 为焦点的椭圆． 2022-04-17 20:04:43
25132 59891dde6f55a500076fdca3 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $y^{2}=4x$，过 $x$ 轴上一点 $K$ 的直线与抛物线交于点 $P,Q$ 两点．证明：存在唯一一点 $K$，使得 $\dfrac{1}{|PK|^{2}}+\dfrac{1}{|KQ|^{2}}$ 为常数，并确定 $K$ 点的坐标． 2022-04-17 20:04:43
25131 59891dde6f55a500076fdca4 高中 解答题 自招竞赛 设二次函数 $f(x)=ax^{2}+(2b+1)x-a-2,a,b\in\mathbb R,a\ne 0$ 在 $[3,4]$ 上至少有一个零点，求 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值． 2022-04-17 20:03:43
25130 59891f116f55a5000823db65 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c\in\mathbb R^{+}$，$ab+bc+ca\geqslant 3$，证明：$a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{3}(b^{2}+c^{2})+b^{3}(c^{2}+a^{2})+c^{3}(a^{2}+b^{2})\geqslant 9$． 2022-04-17 20:03:43
25129 598958b15a1cff0009ea22d0 高中 解答题 自招竞赛 （19分）已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{n+1}=2a_{n}+1(n\in\mathbb N^{*})$． 2022-04-17 20:02:43
25128 598958b15a1cff0009ea22d1 高中 解答题 自招竞赛 （20分）已知 $P(x_{0},y_{0})$ 为椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上一点． 2022-04-17 20:01:43
25127 59895c585a1cff000a345b5a 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 是给定的正整数，$r=k+\dfrac 12$．记 $f^{(1)}(r)=f(r)=r\lceil r \rceil$，$f^{(l)}(r)=f(f^{(l-1)}(r)) $，$l \geqslant 2$ ．证明：存在正整数 $m$，使得 $f^{(m)}(r)$ 为一个整数．这里 $\lceil x \rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数，例如：$\left\lceil \dfrac 12 \right\rceil=1$，$\lceil 1 \rceil=1$． 2022-04-17 20:01:43
25126 59895c585a1cff000a345b5b 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n>2$，设正实数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 满足 $a_k \leqslant 1$，$k=1,2,\cdots,n$，记 $A_k=\dfrac {a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}$，$k=1,2,\cdots,n$．求证：$\displaystyle \left|\sum \limits_{k=1}^{n}a_k-\sum \limits_{k=1}^{n}A_k \right|<\dfrac {n-1}{2}$． 2022-04-17 20:01:43
25125 598960175a1cff0009ea22ff 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，求证：$\cos \dfrac{A}{2}+\cos \dfrac{B}{2}+\cos \dfrac{C}{2}>\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2}$． 2022-04-17 20:00:43
25124 598960175a1cff0009ea2300 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{n}a_{n+1}=1+a_{n}$，试求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式． 2022-04-17 20:59:42
25123 59896dd65a1cff000a345b75 高中 解答题 自招竞赛 （本题满分40分）如图，$AB$ 是圆 $\omega$ 的一条弦，$P$ 为弧 $AB$ 内一点，$E,F$ 为线段 $AB$ 上两点，满足 $AE=EF=FB$．连结 $PE,PF$ 并延长，与圆 $\omega$ 分别相交于点 $C,D$．求证：\[EF\cdot CD=AC\cdot BD.\] 2022-04-17 20:59:42
25122 59896dd65a1cff000a345b77 高中 解答题 自招竞赛 （本题满分50分）一次考试共有 $m$ 道试题，$n$ 个学生参加，其中 $m,n\geqslant 2$ 为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有 $x$ 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分 $x$ 分，未答对的学生得零分．每个学生总分为其 $m$ 道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为 $p_{1}\geqslant p_{2}\geqslant \cdots\geqslant p_{n}$，求 $p_{1}+p_{n}$ 的最大可能值． 2022-04-17 20:58:42
25121 598979e05a1cff000a345b97 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a,b\in[\alpha,\beta]$，求证：$$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\leqslant\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}.$$其中等号当且仅当 $a=\alpha,b=\beta$ 或 $a=\beta,b=\alpha$ 时成立，$\alpha,\beta$ 为正实数． 2022-04-17 20:58:42
25120 598979e05a1cff000a345b98 高中 解答题 自招竞赛 甲乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为 $\dfrac23$，乙获胜的概率为 $\dfrac13$．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率． 2022-04-17 20:57:42
25119 598979e05a1cff000a345b99 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\ln(1+x)-x$ 在区间 $[0,n]$（$n\in\mathbb N^*$）上的最小值为 $b_n$，令$$a_n=\ln(1+n)-b_n,p_k=\dfrac{a_1a_3\cdots a_{2k-1}}{a_2a_4\cdots a_{2k}},k\in\mathbb N^*.$$求证：$p_1+p_2+\cdots+p_n<\sqrt{2a_n+1}-1$． 2022-04-17 20:56:42
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