题目 设 $f(x)$ 是周期函数，$T$ 和 $1$ 是 $f(x)$ 的周期且 $0<T<1$．证明： 问题1 若 $T$ 为有理数，则存在素数 $P$，使 $\dfrac1p$ 是 $f(x)$ 的周期； 答案1 略 解析1 若 $T$ 是有理数，则存在正整数 $m,n$ 使得 $T=\dfrac{n}{m}$，且 $(m,n)=1$，从而存在整数 $a,b$，使得 $ma+nb=1$．于是$$\dfrac1m=\dfrac{ma+nb}{m}=a+bT=a\cdot1+b\cdot T,$$是 $f(x)$ 的周期．又因为 $0<T<1$，从而 $m\geqslant2$．设 $p$ 是 $m$ 的素因子，则 $m=pm',m'\in\mathbb N^*$，从而 $\dfrac1p=m'\cdot\dfrac1m$ 是 $f(x)$ 的周期． 备注1 问题2 若 $T$ 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 $\{a_n\}$ 满足 $1>a_n>a_{n+1}>0$，（$n=1,2,\cdots$），且每个 $a_n$ 都是 $f(x)$ 的周期． 答案2 略 解析2 若 $T$ 是无理数，令 $a_1=1-\left[\dfrac{1}{T}\right]T$，则 $0<a_1<1$，且 $a_1$ 是无理数，令 $a_{n+1}=1-\left[\dfrac{1}{a_n}\right]a_n,n\in\mathbb N^*$，由数学归纳法易知 $a_n$ 均为无理数且 $0<a_n<1$，又因为 $\dfrac{1}{a_n}-\left[\dfrac{1}{a_n}\right]<1$，故 $1<a_n+\left[\dfrac{1}{a_n}\right]a_n$，即$$a_{n+1}=1-\left[\dfrac{1}{a_n}\right]a_n<a_n,$$因此，$\{a_n\}$ 是递减数列．<br/>下面证明每个 $a_n$ 都是 $f(x)$ 的周期，事实上，因为 $1$ 和 $T$ 是 $f(x)$ 的周期，故 $a_1=1-\left[\dfrac1T\right]T$ 亦是 $f(x)$ 的周期．假设 $a_k$ 是 $f(x)$ 的周期，则 $a_{k+1}=1-\left[\dfrac{1}{a_k}\right]a_k$ 也是 $f(x)$ 的周期，由数学归纳法，已证得 $a_n$ 均是 $f(x)$ 的周期． 备注2