已知正整数数列 $\{a_{n}\}$，满足：$a_{1} = 2$，$a_{n+1}= a_{n}^2 - a_{n} +1$，证明：数列的任何两项皆互质．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
改写条件为 $a_{n+1} - 1= a_{n}(a_{n} - 1)$，从而 $a_{n} - 1 = a_{n-1}(a_{n-1} - 1)$，等等，据此迭代得 $a_{n+1} - 1 = a_{n}a_{n-1}(a_{n-1} - 1) = a_{n}a_{n-1}a_{n-2}(a_{n-2} - 1) = \cdots =a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}(a_{1} - 1)=a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}$．
所以，$a_{n} = a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1} + 1$，因此，当 $k <n$ 时，$(a_{n},a_{k})=1$．
所以，$a_{n} = a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{1} + 1$，因此，当 $k <n$ 时，$(a_{n},a_{k})=1$．
答案
解析
备注
