取 $ n=1 $，得\[ {{a}_{2}}{{a}_{1}}={{S}_{2}}+{{S}_{1}}=2{{a}_{1}}+{{a}_{2}}, \quad \cdots \cdots ① \]取 $ n=2 $，得\[ a_{2}^{2}=2{{a}_{1}}+2{{a}_{2}}, \quad \cdots \cdots ② \]由 $ ② - ① $，得\[ {{a}_{2}}\left( {{a}_{2}}-{{a}_{1}} \right)={{a}_{2}}. \quad \cdots \cdots ③ \]若 ${a_2} = 0$，由 $ ① $ 知 ${a_1} = 0$．
若 ${a_2} \ne 0$，由 $ ③ $ 知\[{a_2} - {a_1} = 1. \quad \cdots \cdots ④ \]由 $ ① $，$ ④ $ 解得，\[\begin{cases} {a_1} = \sqrt 2 + 1, \\ {a_2} = 2 + \sqrt 2; \end{cases} 或 \begin{cases} {a_1} = 1 - \sqrt 2 ,\\ {a_2} = 2 - \sqrt 2 .\end{cases}\]综上可得，\[\begin{cases} {a_1} = 0, \\ {a_2} = 0,\end{cases} 或 \begin{cases} {a_1} = \sqrt 2 + 1, \\ {a_2} = \sqrt 2 + 2,\end{cases} 或 \begin{cases} {a_1} = 1 - \sqrt 2 , \\ {a_2} = 2 - \sqrt 2 .\end{cases}\]

当 ${a_1} > 0$ 时，由（1）知\[\begin{cases} {a_1} = \sqrt 2 + 1,\\ {a_2} = \sqrt 2 + 2.\end{cases}\]当 $n \geqslant 2$ 时，有\[\begin{split}\left( {2 + \sqrt 2 } \right){a_n} &= {S_2} + {S_n} , \\ \left( {2 + \sqrt 2 } \right){a_{n - 1}} &= {S_2} + {S_{n - 1}}.\end{split}\]所以 $\left( {1 + \sqrt 2 } \right){a_n} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right){a_{n - 1}}$，即\[{a_n} = \sqrt 2 {a_{n - 1}}\left( {n \geqslant 2} \right),\]所以\[{a_n} = {a_1}{\left( {\sqrt 2 } \right)^{n - 1}} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right) \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^{n - 1}}.\]令 ${b_n} = \lg \dfrac{{10{a_1}}}{a_n}$，则\[\begin{split}{b_n} & = 1 - \lg {\left( {\sqrt 2 } \right)^{n - 1}} \\& = 1 - \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\lg 2 \\& = \dfrac{1}{2}\lg \frac{100}{{{2^{n - 1}}}}.\end{split}\]所以数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 是单调递减的等差数列（公差为 $ - \dfrac{1}{2}\lg 2$）．从而\[{b_1} > {b_2} > \cdots > {b_7} = \lg \dfrac{10}{8} > \lg 1 = 0,\]当 $n\geqslant 8$ 时，\[{b_n} \leqslant {b_8} = \dfrac{1}{2}\lg \dfrac{100}{128} < \dfrac{1}{2}\lg 1 = 0,\]故 $n = 7$ 时，${T_n}$ 取得最大值，且 ${T_n}$ 的最大值为\[\begin{split}{T_7} & = \dfrac{{7\left( {{b_1} + {b_7}} \right)}}{2} \\& = \dfrac{{7\left( {1 + 1 - 3\lg 2} \right)}}{2} \\& = 7 - \dfrac{21}{2}\lg 2.\end{split}\]