设 $x \geqslant 1,y \geqslant 1$，证明 $x + y + \dfrac{1}{xy} \leqslant \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + xy$；
【难度】
【出处】
2011年高考安徽卷（理）
【标注】
【答案】
【解析】
由于 $x \geqslant 1,y \geqslant 1$，所以\[\begin{split}x + y + \frac{1}{xy}& \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy
\Leftrightarrow xy\left(x + y\right) + 1 &\leqslant y + x + {\left(xy\right)^2},\end{split}\]将上式中的右式减左式，得\[\begin{split}\left[y + x + {\left(xy\right)^2}\right] - \left[xy\left(x + y\right) + 1\right] &= \left[{\left(xy\right)^2} - 1\right] - \left[xy\left(x + y\right) - \left(x + y\right)\right]\\
&= \left(xy + 1\right)\left(xy - 1\right) - \left(x + y\right)\left(xy - 1\right)\\
&= \left(xy - 1\right)\left(xy - x - y + 1\right)\\
&= \left(xy - 1\right)\left(x - 1\right)\left(y - 1\right).\end{split}\]由于 $x \geqslant 1,y \geqslant 1$，所以\[\left(xy - 1\right)\left(x - 1\right)\left(y - 1\right) \geqslant 0.\]从而所要证明的不等式成立．
\Leftrightarrow xy\left(x + y\right) + 1 &\leqslant y + x + {\left(xy\right)^2},\end{split}\]将上式中的右式减左式，得\[\begin{split}\left[y + x + {\left(xy\right)^2}\right] - \left[xy\left(x + y\right) + 1\right] &= \left[{\left(xy\right)^2} - 1\right] - \left[xy\left(x + y\right) - \left(x + y\right)\right]\\
&= \left(xy + 1\right)\left(xy - 1\right) - \left(x + y\right)\left(xy - 1\right)\\
&= \left(xy - 1\right)\left(xy - x - y + 1\right)\\
&= \left(xy - 1\right)\left(x - 1\right)\left(y - 1\right).\end{split}\]由于 $x \geqslant 1,y \geqslant 1$，所以\[\left(xy - 1\right)\left(x - 1\right)\left(y - 1\right) \geqslant 0.\]从而所要证明的不等式成立．
答案
解析
备注
